Esboce o gráfico da função e determine o conjunto
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
e determinar o conjunto imagem
.
Conteúdo: função logarítmica natural.
O que vamos precisar: definição de domínio de , limites em
e
, monotonicidade e pontos notáveis para orientar o desenho.
Conteúdo: função logarítmica natural.
O que vamos precisar: definição de domínio de
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
. Como
só está definida para
, temos
Passo 3
Analisamos o comportamento ao nos aproximarmos de zero pela direita. Pelo fato de
quando
, o gráfico tem uma assíntota vertical em
:
Passo 4
Agora vemos o comportamento para valores grandes de
. Sabemos que
logo a curva sobe indefinidamente à medida que
cresce.
Passo 5
Verificamos monotonicidade e alguns pontos-base:
-
para todo , então é estritamente crescente. - Pontos notáveis:
,
.
A concavidade é para baixo (), mas isso só afina o formato.
Passo 6
Com essas informações, o esboço do gráfico é:
- Uma curva que parte de
, - Passa por
e , - Continua subindo lentamente para a direita,
- Tem assíntota vertical em
e cresce sem limite para .
Resposta
O conjunto imagem de
é