Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=ln(x) e determinar o conjunto imagem Im(f).
Conteúdo: função logarítmica natural.
O que vamos precisar: definição de domínio de ln, limites em xto0^+ e xto+infty, monotonicidade e pontos notáveis para orientar o desenho.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. Como ln(x) só está definida para x>0, temos
Dom(f) = (0,infty)

Passo 3

Analisamos o comportamento ao nos aproximarmos de zero pela direita. Pelo fato de ln(x)to -infty quando xto0^+, o gráfico tem uma assíntota vertical em x=0:
limxto0^+ln(x) = -infty

Passo 4

Agora vemos o comportamento para valores grandes de x. Sabemos que
limxto+inftyln(x) = +infty,
logo a curva sobe indefinidamente à medida que x cresce.

Passo 5

Verificamos monotonicidade e alguns pontos-base:
  1. f'(x)=1x>0 para todo x>0, então f é estritamente crescente.
  2. Pontos notáveis:
    f(1)=ln(1)=0,
    f(e)=ln(e)=1.
    A concavidade é para baixo ( f''(x)=-1/x^2<0), mas isso só afina o formato.

Passo 6

Com essas informações, o esboço do gráfico é:
  • Uma curva que parte de (0^+,-infty),
  • Passa por (1,0) e (e,1),
  • Continua subindo lentamente para a direita,
  • Tem assíntota vertical em x=0 e cresce sem limite para xto+infty.

Resposta

O conjunto imagem de f é
Im(f) = (-infty,infty)

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