Exercício 8. Para cada ponto p in R, seja rp a reta tangente ao gráfico de f(x)= 1-x^2 no ponto ( p, 1-p^2 ). Seja g(p) a primeira coordenada da interseção de rp com o eixo horizontal; e seja h(p) a segunda coordenada da interseção de rp com o eixo vertical.
(a) Qual a equação da reta rq ?
(b) Encontre uma expressão para g(q) ?
(c) Encontre uma expressão para h(q) ?
(d) Derive g(x) e determine o limite lim x infty g^prime(x).
(e) Derive h(x) e determine o limite lim x infty h^prime(x).

Passo 1

O enunciado define f(x)=1-x^2 e, para cada pinR, considera a reta rp tangente ao gráfico de f em l(p,,1-p^2r). Em seguida, g(p) é a abscissa ( primeira coordenada ) do ponto em que rp cruza o eixo x, e h(p) é a ordenada ( segunda coordenada ) do ponto em que rp cruza o eixo y. Vamos:
  1. Calcular a derivada f'(x) e usar o ponto l(q,,f(q)r) para achar a equação de rq.
  2. A partir dessa equação, obter g(q) (interseção com y=0) e h(q) (interseção com x=0).
  3. Derivar g(x) e h(x) e calcular seus limites quando xtoinfty.

Passo 2

A inclinação da reta tangente em x=q é
f'(x)=ddx(1-x^2)=-2x Longrightarrow m=f'(q)=-2q
Logo, a reta rq em forma ponto-inclinação parte de l(q,,1-q^2r):
y-(1-q^2) = -2q,(x-q)
Isolando y, obtemos a forma reduzida:
y = -2q,x + l(1 - q^2 + 2q^2r) = -2q,x + l(1 + q^2r)

Passo 3

Para achar g(q), colocamos y=0 (eixo x):
0 = -2q,x + (1+q^2) Longrightarrow x = 1+q^22q
Portanto
g(q)=q^2+12q

Passo 4

Para achar h(q), colocamos x=0 (eixo y) na forma reduzida:
y = -2qcdot 0 + (1+q^2) = 1+q^2,
logo
h(q)=1+q^2

Passo 5

Escrevendo g(x)=dfracx^2+12x=tfrac12l(x+x^-1r), derivamos:
g'(x) =12l(1 - x^-2r)
Assim,
limxtoinftyg'(x) =12(1-0)=12

Passo 6

Para h(x)=1+x^2 temos
h'(x)=2x Longrightarrow limxtoinftyh'(x)=infty

Resposta

(a) rq:;y- (1-q^2) = -2q,(x-q), ou y = -2q,x + (1+q^2).
(b) g(q)=q^2+12q
(c) h(q)=1+q^2
(d) g'(x)=tfrac12l(1 - x^-2r), limxtoinftyg'(x)=tfrac12
(e) h'(x)=2x, limxtoinftyh'(x)=infty

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