Exercício 8. Para cada ponto
, seja
a reta tangente ao gráfico de
no ponto (
). Seja
a primeira coordenada da interseção de
com o eixo horizontal; e seja
a segunda coordenada da interseção de
com o eixo vertical.
(a) Qual a equação da reta
?
(b) Encontre uma expressão para
?
(c) Encontre uma expressão para
?
(d) Derive
e determine o limite
.
(e) Derive
e determine o limite
.
(a) Qual a equação da reta
(b) Encontre uma expressão para
(c) Encontre uma expressão para
(d) Derive
(e) Derive
Passo 1
O enunciado define
e, para cada
, considera a reta
tangente ao gráfico de
em
. Em seguida,
é a abscissa (
primeira coordenada
do ponto em que
cruza o eixo
, e
é a ordenada (
segunda coordenada
do ponto em que
cruza o eixo
. Vamos:
- Calcular a derivada
e usar o ponto para achar a equação de . - A partir dessa equação, obter
(interseção com ) e (interseção com ). - Derivar
e e calcular seus limites quando .
Passo 2
A inclinação da reta tangente em
é
Logo, a reta
em forma ponto-inclinação parte de
:
Isolando
, obtemos a forma reduzida:
Passo 3
Para achar
, colocamos
(eixo
):
Portanto
Passo 4
Para achar
, colocamos
(eixo
) na forma reduzida:
logo
Passo 5
Escrevendo
, derivamos:
Assim,
Passo 6
Para
temos
Resposta
(a)
, ou
.
(b)
(c)
(d) ,
(e) ,
(b)
(c)
(d)
(e)