Use a derivação implícita para encontrar partial y / partial x e partial z / partial y.
e^t=x y z

Passo 1

O enunciado apresenta a relação implícita
e^t = x,y,z
e pede as derivadas parciais partial ypartial x (mantendo t e z constantes) e partial zpartial y (mantendo t e x constantes). Vamos usar derivação implícita, isto é, diferenciar ambos os lados da equação e tratar as variáveis não diferenciadas como constantes.

Passo 2

Diferenciando em relação a x com t e z constantes, o lado esquerdo dá
ddxl(e^tr)=0
e o direito
ddxl(x,y,zr) = y,z + x,z,partial ypartial x + x,y,partial zpartial x
Como z é constante, partial z/partial x=0. Logo
0 = y,z + x,z,partial ypartial x Longrightarrow partial ypartial x = -y,zx,z = -yx

Passo 3

Agora diferenciamos em relação a y com t e x constantes. O lado esquerdo continua zero, e o direito fica
ddyl(x,y,zr) = x,z + x,y,partial zpartial y
Portanto
0 = x,z + x,y,partial zpartial y Longrightarrow partial zpartial y = -x,zx,y = -zy

Resposta

partial ypartial x = -yx, partial zpartial y = -zy

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