7ª QUESTÃO. Determine a Vazão de escoamento de um condutor horizontal de PVC ( \mathrm{n}=0,011 ), de diâmetro 150 mm , trabalhando com uma lâmina d’água de 0,66 . D e declividade de 0,5 \%.
[\mathrm{Q}=9,82 \mathrm{~L} / \mathrm{s}]

Passo 1

O que o exercício pede: determinar a vazão de escoamento Q de um condutor circular horizontal de PVC quando a lâmina d’água ocupa 0,66 do diâmetro e a declividade é 0,5\%.
Dados fornecidos:
n=0,011
D=150\\ \mathrm{mm}=0,15\\ \mathrm{m}
\frac{y}{D}=0,66\quad\Rightarrow\quad y=0,66\cdot D
S=0,5\%=0,005
Resposta esperada indicada: Q=9,82\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (fórmula de Manning para canais/escoamentos em seção qualquer):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão (m³/s),
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional),
  • A é a área molhada da seção transversal (m²),
  • R é o raio hidráulico, definido por R=\dfrac{A}{P} (m), com P sendo o perímetro molhado (m),
  • S é a declividade (adimensional).
    Comentário amigável: a ideia é calcular primeiro a área da parte cheia do círculo e o perímetro molhado, obter o raio hidráulico, e então aplicar a fórmula de Manning.

Passo 3

Geometria da seção circular parcialmente cheia. Seja r o raio do tubo:
r=\frac{D}{2}.
Para uma lâmina de altura y (medida a partir do fundo do tubo) definimos o ângulo central \theta (em radianos) correspondente ao setor molhado por:
\theta = 2\operatorname{arccos}\!\left(\frac{r-y}{r}\right).
Explicação desta fórmula: \frac{r-y}{r} é a distância vertical do centro ao nível da água, normalizada por r; \operatorname{arccos} dá o semi-ângulo do setor, multiplicamos por 2 para obter o ângulo total \theta.
Com \theta conhecemos:
  • área do segmento molhado:
A=\frac{r^{2}}{2}\,\bigl(\theta-\sin\theta\bigr),
  • perímetro molhado (comprimento do arco):
P=r\,\theta.
Observação prática: estas fórmulas valem para 0\le y\le 2r (todo o intervalo de preenchimento).

Passo 4

Calculemos os valores numéricos iniciais:
D=0,15\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{D}{2}=0,075\\ \mathrm{m}.
y=0,66\cdot D=0,66\cdot 0,15=0,099\\ \mathrm{m}.
Calcule \dfrac{r-y}{r}:
\frac{r-y}{r}=\frac{0,075-0,099}{0,075}=\frac{-0,024}{0,075}=-0,32.
Agora o ângulo \theta:
\theta=2\operatorname{arccos}(-0,32).
Avaliação numérica (em radianos):
\operatorname{arccos}(-0,32)\approx 1,8959\\ \text{rad}\quad\Rightarrow\quad \theta\approx 2\cdot 1,8959=3,7918\\ \text{rad}.

Passo 5

Calcule a área molhada A usando \theta. Primeiro r^{2}/2:
\frac{r^{2}}{2}=\frac{(0,075)^{2}}{2}=\frac{0,005625}{2}=0,0028125\\ \mathrm{m}^{2}.
Calcule \theta-\sin\theta. Observando \theta\approx 3,7918 e \sin(3,7918)\approx -0,6050, temos
\theta-\sin\theta\approx 3,7918-(-0,6050)=4,3968.
Logo
A=\;0,0028125\cdot 4,3968\approx 0,01236\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Calcule o perímetro molhado P:
P=r\,\theta=0,075\cdot 3,7918\approx 0,28439\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcule o raio hidráulico R:
R=\frac{A}{P}=\frac{0,01236}{0,28439}\approx 0,04346\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcule as potências necessárias na fórmula de Manning:
R^{2/3}\approx (0,04346)^{2/3}\approx 0,1236,
(uma forma prática: primeiro fazer a raiz cúbica R^{1/3} e depois elevar ao quadrado).
A raiz quadrada da declividade:
S^{1/2}=\sqrt{0,005}\approx 0,07071.

Passo 9

Aplique a fórmula de Manning passo a passo:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo os valores numéricos:
\frac{1}{n}=\frac{1}{0,011}\approx 90,909,
A\,R^{2/3}\,S^{1/2}\approx 0,01236\cdot 0,1236\cdot 0,07071\approx 0,0001080\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Logo
Q\approx 90,909\cdot 0,0001080\approx 0,009818\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Converta para litros por segundo ( 1\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}=1000\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}):
Q\approx 0,009818\cdot 1000\approx 9,818\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}.
Arredondando de forma coerente com o enunciado:
Q\approx 9,82\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}.

Resposta

9,82\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}

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