(5a Questão - 1,5 ponto)
Represente o volume do sólido limitado pelos paraboloides z=8-x^2-y^2 e z=3 x^2+3 y^2, utilizando:
(A) uma integral tripla em coordenadas retangulares;

Passo 1

O exercício pede para representar o volume do sólido limitado pelos paraboloides z = 8 - x^2 - y^2 e z = 3x^2 + 3y^2. O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla em coordenadas retangulares, e vamos precisar identificar a região de projeção no plano xy e os limites em z.

Passo 2

Para encontrar a região de projeção, igualamos as duas superfícies:
8 - x^2 - y^2 = 3(x^2 + y^2)
Isso leva a
4(x^2 + y^2) = 8
x^2 + y^2 = 2
Logo, a projeção D no plano xy é o disco
D = (x,y) : x^2 + y^2 <= 2.

Passo 3

Em cada ponto (x,y)in D, a coordenada z varia da superfície inferior z=3(x^2+y^2) até a superior z=8-(x^2+y^2).

Passo 4

Finalmente, em coordenadas retangulares, descrevemos D por
xin[-raiz2,,raiz2], yin[-raiz2 - x^2,,raiz2 - x^2], e o volume é dado por

Resposta

V = integralx=-raiz2^raiz2 integraly=-raiz2 - x^2^raiz2 - x^2 integralz=3(x^2 + y^2)^8 - x^2 - y^2 dz,dy,dx

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