8.5B Em cada caso abaixo, esboce a região D delimitada palas curvas dadas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região D em torno do eixo indicado.
(c) y=raizx, y=0, x=4; eixo x=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de x=4 a região D limitada por
y=raizx,
y=0 e
x=4.
O conteúdo é cálculo de volume por rotação, e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois o eixo de rotação é vertical e a região é descrita naturalmente em função de x.

Passo 2

Vamos primeiro visualizar D: é o conjunto de pontos entre o eixo y=0 e a curva y=raizx, da vertical x=0 até x=4. Ao girar essa região em torno de x=4, cada retângulo vertical em x gera uma casca cilíndrica de raio 4 - x e altura raizx.

Passo 3

Pelo método das cascas cilíndricas, o volume elementar é
dV = 2pi ,(raio),(a<ura),dx = 2pi,(4 - x),raizx,dx
Logo, o volume total é
V = 2pi integralx=0^x=4 (4 - x),raizx,dx

Passo 4

Vamos separar a integral:
V = 2pi integral0^4 l(4x^1/2 - xcdot x^1/2r),dx = 2pi l[4integral0^4 x^1/2,dx ;-;integral0^4 x^3/2,dxr]

Passo 5

Calculando cada parte:
integral0^4 x^1/2,dx = 23x^3/2|0^4 = 23cdot 8 = 163,
integral0^4 x^3/2,dx = 25x^5/2|0^4 = 25cdot 32 = 645
Substituindo:
V = 2pi!l[4cdot163 - 645r] = 2pi!l[643 - 645r] = 2picdot 64,(5 - 3)15 = 2picdot 12815 = 256pi15

Resposta

V = 256pi15

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