8.5B Em cada caso abaixo, esboce a região
delimitada palas curvas dadas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo indicado.
(c)
; eixo
(c)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de
a região
limitada por
,
e
.
O conteúdo é cálculo de volume por rotação, e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois o eixo de rotação é vertical e a região é descrita naturalmente em função de .
O conteúdo é cálculo de volume por rotação, e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois o eixo de rotação é vertical e a região é descrita naturalmente em função de
Passo 2
Vamos primeiro visualizar
: é o conjunto de pontos entre o eixo
e a curva
, da vertical
até
. Ao girar essa região em torno de
, cada retângulo vertical em
gera uma casca cilíndrica de raio
e altura
.
Passo 3
Pelo método das cascas cilíndricas, o volume elementar é
Logo, o volume total é
Passo 4
Vamos separar a integral:
Passo 5
Calculando cada parte:
Substituindo: