Uma folha quadrada de papelão de
é usada para fazer uma caixa aberta. São cortados quadrados de igual tamanho nos quatro cantos da folha e dobrados para dar altura à caixa. De que tamanho devem ser cortados os quadrados para conseguir o maior volume possível para a caixa?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma folha quadrada de papelão com área de
,m
, de lado
. Cortam-se quadrados de lado
em cada canto e dobra-se para obter uma caixa sem tampa, cuja base mede
e altura
. Queremos escolher
de modo a maximizar o volume da caixa. O conteúdo principal aqui é otimização de função por derivadas.
Passo 2
Calculamos primeiro o lado da folha:
Em seguida, expressamos o volume
em função de
:
Passo 3
Definimos o domínio de
para que a caixa exista fisicamente. É necessário que as abas tenham tamanho positivo e que a base não se anule, ou seja,
Passo 4
Derivamos
e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
Logo,
dá as soluções
O caso
zera a base e não interessa, restando
.
Passo 5
Confirmamos que
é máximo calculando a segunda derivada:
Em
temos
portanto é ponto de máximo.
Resposta
Os quadrados devem ter lado