Uma folha quadrada de papelão de 12 m^2 é usada para fazer uma caixa aberta. São cortados quadrados de igual tamanho nos quatro cantos da folha e dobrados para dar altura à caixa. De que tamanho devem ser cortados os quadrados para conseguir o maior volume possível para a caixa?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma folha quadrada de papelão com área de 12,m ^2, de lado L. Cortam-se quadrados de lado x em cada canto e dobra-se para obter uma caixa sem tampa, cuja base mede (L-2x)times(L-2x) e altura x. Queremos escolher x de modo a maximizar o volume da caixa. O conteúdo principal aqui é otimização de função por derivadas.

Passo 2

Calculamos primeiro o lado da folha:
L = raiz12 = 2raiz3
Em seguida, expressamos o volume V em função de x:
V(x) = x,(L - 2x)^2

Passo 3

Definimos o domínio de x para que a caixa exista fisicamente. É necessário que as abas tenham tamanho positivo e que a base não se anule, ou seja,
0 < x < L2 = raiz3

Passo 4

Derivamos V(x) e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
V'(x) = ddxl[x,(L - 2x)^2r] = (L - 2x)^2 - 4x,(L - 2x) = (L - 2x),[(L - 2x)-4x] = (L - 2x)(L - 6x)
Logo, V'(x)=0 dá as soluções
L - 2x = 0l(x=tfracL2r) e L - 6x = 0l(x=tfracL6r)
O caso x = L/2 zera a base e não interessa, restando x = L/6.

Passo 5

Confirmamos que x = L/6 é máximo calculando a segunda derivada:
V''(x) = ddxl[(L - 2x)(L - 6x)r] = -8L + 24x
Em x = tfracL6 temos
V''l(tfracL6r) = -8L + 24l(tfracL6r) = -8L + 4L = -4L < 0,
portanto é ponto de máximo.

Resposta

Os quadrados devem ter lado
x = L6 = raiz126 = 2raiz36 = raiz33,m

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