Derive as funções:
f(x)=(1x^2-3x^4)(x+5 x^3)------ [R: f^prime(x)=5+14x^2+9x^4]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(1x^2-3x^4r)l(x+5x^3r),
usando regras de derivação de produto e, mais convenientemente, a regra de potência (isto é, ddxx^n=n,x^n-1).

Passo 2

Para simplificar, primeiro expandimos o produto em termos de potências de x. Calculamos termo a termo:
1x^2cdot x = x^-1, 1x^2cdot 5x^3=5x, -3x^4cdot x=-3x^-3, -3x^4cdot 5x^3=-15x^-1
Somando esses termos, obtemos
f(x)=5x + x^-1-15x^-1-3x^-3 =5x -14,x^-1-3,x^-3

Passo 3

Agora derivamos termo a termo usando ddxx^n=n,x^n-1:
ddxl(5xr)=5, ddxl(-14x^-1r)=-14cdot(-1)x^-2=14x^-2, ddxl(-3x^-3r)=-3cdot(-3)x^-4=9x^-4
Portanto,
f'(x)=5+14x^-2+9x^-4

Resposta

f'(x)=5+14x^2+9x^4

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