9-7 Transform the position
from Cartesian
coordinates to cylindrical
coordinates, including units. The values of
are in units of meters.
Passo 1
O que o problema pede e o que já foi dado.
- Pede: transformar o ponto dado nas coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, ou seja, encontrar
. - Dados: a posição em coordenadas cartesianas é
. Os valores estão em metros. - Observação: nas coordenadas cilíndricas usamos
-
= distância radial no plano (unidade: metro), -
= ângulo em relação ao eixo no plano (unidade: radiano, normalmente tomado em ), -
= mesma coordenada do sistema cartesiano (unidade: metro).
-
Passo 2
Fórmulas de conversão e explicação passo a passo do que cada fórmula faz.
- As relações entre coordenadas cartesianas
e cilíndricas são:
- Explicação didática:
-
é simplesmente a distância do ponto à origem projetado no plano . Para calcular a distância usamos o teorema de Pitágoras: a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos e . -
é o ângulo que o vetor projetado no plano faz com o eixo . A função devolve o ângulo correto levando em conta o sinal de e (ou seja, o quadrante). Se e (primeiro quadrante), então já dá o valor correto entre e .
-
Passo 3
Cálculo de
passo a passo.
- Substituindo
e na fórmula de : - Calculando os quadrados:
então - Simplificação exata e aproximação decimal:
- Não esquecer a unidade:
está em metros.
Passo 4
Cálculo de
passo a passo, explicando o uso de
e o quadrante.
- Primeiro formamos a razão
. - Como
e , o ponto está no primeiro quadrante. Nesse caso podemos usar - Valor aproximado (em radianos):
(Isso equivale a aproximadamente , se quiser visualizar em graus.) - Comentário prático: sempre verifique o sinal de
e . Se fosse negativo, seria necessário ajustar o resultado de usando para obter o ângulo no quadrante correto.
Passo 5
Valor de
.
- Em coordenadas cilíndricas a coordenada
é a mesma que em cartesianas. Portanto
Passo 6
Juntando tudo e apresentando forma exata e forma aproximada (com unidades).
- Forma exata:
- Forma aproximada (quatro casas decimais para
e ):