9-7 Transform the position \vec{x}=(2,4,-1) from Cartesian (x, y, z) coordinates to cylindrical (r, \theta, z) coordinates, including units. The values of \vec{x} are in units of meters.

Passo 1

O que o problema pede e o que já foi dado.
  • Pede: transformar o ponto dado nas coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, ou seja, encontrar (r,\theta,z).
  • Dados: a posição em coordenadas cartesianas é \vec{x}=(2,4,-1). Os valores estão em metros.
  • Observação: nas coordenadas cilíndricas usamos
    • \,r = distância radial no plano xy (unidade: metro),
    • \,\theta = ângulo em relação ao eixo x no plano xy (unidade: radiano, normalmente tomado em [0,2\pi)),
    • \,z = mesma coordenada z do sistema cartesiano (unidade: metro).

Passo 2

Fórmulas de conversão e explicação passo a passo do que cada fórmula faz.
  • As relações entre coordenadas cartesianas (x,y,z) e cilíndricas (r,\theta,z) são: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)\quad(\text{ou em muitos casos }\theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)\text{, com atenção ao quadrante}),çã
z=z.
  • Explicação didática:
    • \,r é simplesmente a distância do ponto à origem projetado no plano xy. Para calcular a distância usamos o teorema de Pitágoras: a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos x e y.
    • \theta é o ângulo que o vetor projetado no plano xy faz com o eixo x. A função \operatorname{atan2}(y,x) devolve o ângulo correto levando em conta o sinal de x e y (ou seja, o quadrante). Se x>0 e y>0 (primeiro quadrante), então \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) já dá o valor correto entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Cálculo de r passo a passo.
  • Substituindo x=2 e y=4 na fórmula de r: r=\sqrt{2^{2}+4^{2}}.
  • Calculando os quadrados: 2^{2}=4,\qquad 4^{2}=16,então r=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}.
  • Simplificação exata e aproximação decimal: \sqrt{20}=2\sqrt{5}\quad\text{(exato)},
\sqrt{20}\approx 4,4721\\ \text{m}\quad\text{(aproximação com 4 casas decimais)}.çã
  • Não esquecer a unidade: r está em metros.

Passo 4

Cálculo de \theta passo a passo, explicando o uso de \arctan e o quadrante.
  • Primeiro formamos a razão \dfrac{y}{x}=\dfrac{4}{2}=2.
  • Como x=2>0 e y=4>0, o ponto está no primeiro quadrante. Nesse caso podemos usar \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan(2).
  • Valor aproximado (em radianos): \theta=\arctan(2)\approx 1,10715\\ \text{rad}.(Isso equivale a aproximadamente 63,4349^\circ, se quiser visualizar em graus.)
  • Comentário prático: sempre verifique o sinal de x e y. Se x fosse negativo, seria necessário ajustar o resultado de \arctan usando \operatorname{atan2}(y,x) para obter o ângulo no quadrante correto.

Passo 5

Valor de z.
  • Em coordenadas cilíndricas a coordenada z é a mesma que em cartesianas. Portanto z=-1\\ \text{m}.

Passo 6

Juntando tudo e apresentando forma exata e forma aproximada (com unidades).
  • Forma exata: (r,\theta,z)=\left(2\sqrt{5}\\ \text{m},\\ \arctan(2)\\ \text{rad},\\\ -1\\ \text{m}\right).
  • Forma aproximada (quatro casas decimais para r e \theta): (r,\theta,z)\approx\left(4,4721\\ \text{m},\\\ 1,10715\\ \text{rad},\\\ -1\\ \text{m}\right).

Resposta

\displaystyle (r,\theta,z)=\left(2\sqrt{5}\\ \text{m},\\ \arctan(2)\\ \text{rad},\\\ -1\\ \text{m}\right)\approx\left(4,4721\\ \text{m},\\\ 1,10715\\ \text{rad},\\\ -1\\ \text{m}\right)

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