8.5C Uma região D do plano x y é delimitada pelo triângulo de vértices (0,0),(h, 0) e (h, r), sendo h e r números positivos. Calcule o volume do sólido resultante da rotação da região D em torno do eixo x (resp. pi r^2 h / 3 ). E se a rotação fosse em torno do eixo y ? (resp. 2 pi r h^2 / 3 )

Passo 1

O enunciado descreve a região D no plano xy que é o triângulo com vértices (0,0), (h,0) e (h,r), onde h>0 e r>0. Vamos calcular o volume do sólido obtido ao girar D em torno de cada eixo coordenado. Para isso usaremos métodos de Cálculo Integral: discos (para o eixo x) e cascas cilíndricas (para o eixo y).

Passo 2

Primeiro, obtemos a equação do lado inclinado do triângulo, que une (0,0) a (h,r). Trata-se de uma reta passando pela origem com declividade r/h, logo
ymax(x)=rh,x,
e a região D pode ser descrita por
0<= x<= h, 0<= y<= rhx

Passo 3

Para a rotação em torno do eixo x, usamos o método dos discos: em cada x fixo, a seção transversal é um disco de raio ymax(x). Assim,
Vx =integral0^hpil(ymax(x)r)^2dx =piintegral0^hl(rhxr)^2dx

Passo 4

Calculando a integral,
Vx =pir^2h^2integral0^hx^2dx =pir^2h^2cdoth^33 =pi r^2h3

Passo 5

Para a rotação em torno do eixo y, usamos o método das cascas cilíndricas: em cada x, a casca tem raio x, altura ymax(x) e espessura dx. Logo,
Vy =integral0^h2pil(raior)cdotl(a<urar),dx =2piintegral0^hxcdotrhx,dx =2pirhintegral0^hx^2dx

Passo 6

Fazendo a integral,
Vy =2pirhcdoth^33 =2pi r h^23

Resposta

Volume ao redor do eixo x: pi r^2h3
Volume ao redor do eixo y: 2pi r h^23

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