8.5C Uma região
do plano
é delimitada pelo triângulo de vértices
e
, sendo
e
números positivos. Calcule o volume do sólido resultante da rotação da região
em torno do eixo
(resp.
). E se a rotação fosse em torno do eixo
? (resp.
)
Passo 1
O enunciado descreve a região
no plano
que é o triângulo com vértices
,
e
, onde
e
. Vamos calcular o volume do sólido obtido ao girar
em torno de cada eixo coordenado. Para isso usaremos métodos de Cálculo Integral: discos (para o eixo
) e cascas cilíndricas (para o eixo
).
Passo 2
Primeiro, obtemos a equação do lado inclinado do triângulo, que une
a
. Trata-se de uma reta passando pela origem com declividade
, logo
e a região
pode ser descrita por
Passo 3
Para a rotação em torno do eixo
, usamos o método dos discos: em cada
fixo, a seção transversal é um disco de raio
. Assim,
Passo 4
Calculando a integral,
Passo 5
Para a rotação em torno do eixo
, usamos o método das cascas cilíndricas: em cada
, a casca tem raio
, altura
e espessura
. Logo,
Passo 6
Fazendo a integral,
Resposta
Volume ao redor do eixo
:
Volume ao redor do eixo :
Volume ao redor do eixo