Q 86 Seja
. Determine a constante
de modo que a reta que passa pelos pontos
seja tangente ao gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede que a reta que passa por
e
seja tangente ao gráfico da função
Iremos usar derivada para impor a condição de tangência (mesmo coeficiente angular) e depois ajustar
de modo que o ponto de contato satisfazer ambas as equações (da reta e de
).
Passo 2
Vamos achar a equação da reta
que passa por
e
. Primeiro o coeficiente angular:
Como passa por
, o termo independente
satisfaz
, logo
.
Portanto
Portanto
Passo 3
A condição de tangência exige que exista um ponto
tal que
-
, ou seja, a derivada de em seja . -
, para que o ponto pertença a ambas as curvas.
Calculemos
:
Igualando a
:
Passo 4
No ponto de tangência
, a reta vale
Esse mesmo valor deve ser
:
Logo