Q 86 Seja f(x)=k-x^416. Determine a constante k de modo que a reta que passa pelos pontos M(0,5) e N(5 / 2,0) seja tangente ao gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede que a reta que passa por M(0,5) e Nl(tfrac52,0r) seja tangente ao gráfico da função
f(x)=k-x^416
Iremos usar derivada para impor a condição de tangência (mesmo coeficiente angular) e depois ajustar k de modo que o ponto de contato satisfazer ambas as equações (da reta e de f).

Passo 2

Vamos achar a equação da reta L(x) que passa por M e N. Primeiro o coeficiente angular:
m = 0-5tfrac52-0 = -55/2 = -2
Como passa por M(0,5), o termo independente b satisfaz 5 = mcdot0 + b, logo b=5.
Portanto
L(x) = -2x + 5

Passo 3

A condição de tangência exige que exista um ponto x=a tal que
  1. f'(a)=L'(x)=m, ou seja, a derivada de f em a seja -2.
  2. f(a)=L(a), para que o ponto pertença a ambas as curvas.
Calculemos f'(x):
f'(x) = -4x^316 = -x^34
Igualando a -2:
-a^34 = -2 Longrightarrow a^34 = 2 Longrightarrow a^3=8 Longrightarrow a=2

Passo 4

No ponto de tangência x=2, a reta vale
L(2) = -2cdot2 + 5 = 1
Esse mesmo valor deve ser f(2):
f(2) = k - 2^416 = k - 1
Logo
k - 1 = 1 Longrightarrow k = 2

Resposta

2

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