Exercício 19 (S.5.13)
Mostre que toda forma quadrática
definida positiva satisfaz à condição: dado
, existe
tal que
implica
. Prove novamente que a origem é um ponto é globalmente estável para
, onde
é um operador linear em
cujos autovalores têm parte real
.
Observação: Uma forma quadrática em
é uma função
da forma
, em que
é uma forma bilinear
e
, para todo
e
) e simétrica (
, para todo
)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
) Mostrar que toda forma quadrática definida positiva
é radialmente não limitada por cima no sentido de que, dado
, existe
tal que
Passo 2
Seja
com
simétrica e definida positiva. Então os autovalores de
satisfazem
e para todo
vale
Dado
, basta escolher
De fato, se
então
o que prova a propriedade desejada.
Passo 3
Como
tem todos os autovalores com parte real negativa, existe matriz simétrica e definida positiva
resolvendo a equação de Lyapunov
Definimos a função de Lyapunov
Pelo passo anterior,
é positiva definida e, escolhendo
adequado, cresce além de qualquer cota — é radialmente não limitada por cima.
Passo 4
Ao longo de uma solução
de
temos
Logo
é negativa definida. Com
positiva definida, radialmente não limitada por cima e
, concluímos que a origem é globalmente assintoticamente estável.
Resposta
A forma quadrática definida positiva satisfaz a propriedade de crescer além de qualquer cota
quando
, e para o sistema
(com
) a origem é um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável.