Exercício 19 (S.5.13)

Mostre que toda forma quadrática V: R^n R definida positiva satisfaz à condição: dado c>0, existe R>0 tal que |x|>R implica V(x)>c. Prove novamente que a origem é um ponto é globalmente estável para x^prime=A x, onde A é um operador linear em R^n cujos autovalores têm parte real <0.
Observação: Uma forma quadrática em R^n é uma função q: R^n R da forma q(x)=B(x, x), em que B: R^n times R^n R é uma forma bilinear (B(alpha x+y, z)=alpha B(x, z)+B(y, z) e B(z, alpha x+y)=alpha B(z, x)+B(z, y), para todo x, y, z in R^n e alpha in R ) e simétrica ( B(y, z)=B(z, y), para todo y, z in R^n )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1) Mostrar que toda forma quadrática definida positiva
V:R^ntoR, V(x)=B(x,x)
é radialmente não limitada por cima no sentido de que, dado c>0, existe R>0 tal que
|x|>RLongrightarrow V(x)>c
2) Usar isso (ou uma construção de Lyapunov) para provar que, se A é um operador linear em R^n cujos autovalores têm parte real negativa, então a origem é um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável em
x' = A x

Passo 2

Seja V(x)=x^T Q x com Q simétrica e definida positiva. Então os autovalores de Q satisfazem
0<lambdamin<=lambdamax,
e para todo xneq0 vale
lambdamin,|x|^2 ;<=;x^TQx;<=;lambdamax,|x|^2
Dado c>0, basta escolher
R = raizclambdamin
De fato, se |x|>R então
V(x)=x^TQx;>=;lambdamin,|x|^2 ;>;lambdamin,R^2 =;c,
o que prova a propriedade desejada.

Passo 3

Como A tem todos os autovalores com parte real negativa, existe matriz simétrica e definida positiva P resolvendo a equação de Lyapunov
A^T P + P,A ;=;-I
Definimos a função de Lyapunov
V(x) ;=; x^T P,x
Pelo passo anterior, V é positiva definida e, escolhendo R adequado, cresce além de qualquer cota — é radialmente não limitada por cima.

Passo 4

Ao longo de uma solução x(t) de x'=A x temos
dot V(x) =ddtl(x^T P xr) =x^Tl(A^T P + P Ar)x =-,x^T x =-,|x|^2<0 para xneq0
Logo dot V é negativa definida. Com V positiva definida, radialmente não limitada por cima e dot V<0, concluímos que a origem é globalmente assintoticamente estável.

Resposta

A forma quadrática definida positiva satisfaz a propriedade de crescer além de qualquer cota c>0 quando |x|toinfty, e para o sistema x'=Ax (com Re(lambdai(A))<0) a origem é um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável.

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