5E. Sobre uma partícula atuam forças dadas, em newtons, por \mathbf{F}_{1}=10 \mathbf{i} -4 \mathbf{j} e \mathbf{F}_{2}=17 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}. (a) Qual a força \mathbf{F}_{3} que equilibra as outras duas? (b) Que direção tem \mathbf{F}_{3} em relação ao eixo x ?

Passo 1

O enunciado dá duas forças em componentes cartesianas agindo numa partícula: \mathbf{F}_{1}=10\,\mathbf{i}-4\,\mathbf{j} e \mathbf{F}_{2}=17\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}.
Pede-se (a) a força \mathbf{F}_{3} que deixa o sistema em equilíbrio e (b) a direção de \mathbf{F}_{3} em relação ao eixo x.
O equilíbrio ocorre quando a soma vetorial das três forças é zero, ou seja
\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\mathbf{F}_{3}=\mathbf{0}.

Passo 2

Calculamos primeiro o resultado das duas forças dadas:
\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2} =(10+17)\,\mathbf{i}+(-4+2)\,\mathbf{j} =27\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}.

Passo 3

Para ter equilíbrio, \mathbf{F}_{3} deve anular esse resultado, logo
\mathbf{F}_{3}=-(\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}) =-27\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}.

Passo 4

A direção de \mathbf{F}_{3} em relação ao eixo x é dada por
\tan\theta=\frac{F_{3y}}{F_{3x}} =\frac{2}{-27}.
Como F_{3x}<0 e F_{3y}>0, o vetor está no segundo quadrante. O ângulo de referência é
\alpha=\arctan\Bigl|\tfrac{2}{27}\Bigr|\approx4{,}24^\circ,
portanto o ângulo medido desde o eixo x positivo, no sentido anti-horário, é
\theta=180^\circ-\alpha\approx175{,}76^\circ.

Resposta

(a) \mathbf{F}_{3}=-27\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}.
(b) A direção de \mathbf{F}_{3} forma um ângulo de aproximadamente 175{,}8^\circ com o eixo x positivo.

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