Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nos extremos opostos de uma prancha estreita de comprimento
e massa
(igual à das crianças). A prancha é pivotada no centro e pode girar livremente, sem atrito, num círculo horizontal. (Considere-a como se fosse uma haste fina.) (a) Qual é o momento de inércia do sistema formado pela prancha e as crianças, em torno de um eixo vertical que passa pelo centro da prancha? (b) Qual é o momento angular do sistema se ele roda com velocidade angular
em sentido horário, visto de cima? Quais são a direção e o sentido do momento angular? (c) Enquanto o sistema está rodando, as crianças puxam uma à outra em direção ao centro, até ficarem sentadas na metade da distância ao centro que tinham inicialmente. Qual é a nova velocidade angular, em termos de
? (d) Qual é a mudança sofrida pela energia cinética do sistema como resultado da mudança de posição das crianças? (De onde vem a energia cinética adicional?)
Passo 1
O enunciado trata de um sistema rígido formado por uma prancha de massa
e comprimento
, pivotada no seu centro, e duas crianças, cada uma de massa
, sentadas em pontos opostos a uma distância
do centro. Vamos aplicar:
- Cálculo de momento de inércia de uma haste fina em torno de seu centro e de pontos materiais.
- Conservação do momento angular
(sem torque externo). - Cálculo da energia cinética rotacional antes e depois da mudança de posição.
Passo 2
Momento de inércia inicial
é a soma da haste mais as duas crianças:
– Haste fina de massa e comprimento
em torno de eixo pelo centro:
– Haste fina de massa
– Duas crianças (pontos materiais) a distância
:
Logo
Passo 3
O momento angular inicial
para velocidade angular escalar
é
Como o giro é horário visto de cima, o vetor angular aponta para baixo, ou seja, em sentido
. Portanto
Passo 4
Quando as crianças se aproximam até ficarem a
do centro, o novo momento de inércia
é:
– Haste continua igual: .
– Crianças:
– Haste continua igual:
– Crianças:
Assim
Passo 5
Pela conservação de
(sem torque externo):
Passo 6
Energia cinética rotacional inicial:
Final:
A variação é
Passo 7
Essa energia extra vem do trabalho que as crianças fazem ao puxar-se mutuamente contra a “força centrífuga” no referencial de rotação. Ou seja, da energia química dos músculos, convertida em energia cinética.
Resposta
(a)
(b)
Direção: eixo vertical; sentido: para baixo.
(c)
(d)
Energia fornecida pelo trabalho muscular das crianças.
(b)
Direção: eixo vertical; sentido: para baixo.
(c)
(d)
Energia fornecida pelo trabalho muscular das crianças.