8.5F É feito um orifício de raio 2 raiz3 pelo centro de um sólido esférico de raio R=4. Calcule o volume da porção retirada do sólido. (resp. 224 pi / 3 )

Passo 1

O enunciado pede o volume da porção removida ao perfurar um orifício cilíndrico de raio a=2raiz3 pelo centro de uma esfera de raio R=4. Para resolver, vamos usar o método dos discos: em cada altura z medimos a área da interseção entre o cilindro e a esfera e integramos de z=-4 até z=4.

Passo 2

Em altura z, o raio da seção da esfera é
rs(z)=raizR^2-z^2=raiz16-z^2
Há duas situações:
  • Se lvert zrvert<= h, com h=raizR^2-a^2=raiz16-12=2, o cilindro cabe inteiro na seção da esfera e a área retirada é a área do círculo de raio a, ou seja
A(z)=pi a^2=pi,(2raiz3)^2=12pi
  • Se 2<lvert zrvert<=4, o cilindro “ultrapassa” a esfera e a área retirada é toda a área da seção da esfera,
A(z)=pi,rs(z)^2=pi,(16-z^2)

Passo 3

O volume removido é
V=integral-4^4A(z),dz =2l[integral0^212pi,dz+integral2^4pi,(16-z^2),dzr]

Passo 4

Calculemos cada integral:
integral0^212pi,dz=12picdot2=24pi,
integral2^4(16-z^2),dz =l[16z-tfracz^33r]2^4 =l(64-tfrac643r)-l(32-tfrac83r) =tfrac403
Multiplicando por pi tfrac40pi3.

Passo 5

Somando e dobrando,
V=2l(24pi+tfrac40pi3r) =48pi+tfrac80pi3 =tfrac144pi+80pi3 =tfrac224pi3

Resposta

boxed224pi3

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