8.5F É feito um orifício de raio
pelo centro de um sólido esférico de raio
. Calcule o volume da porção retirada do sólido. (resp.
)
Passo 1
O enunciado pede o volume da porção removida ao perfurar um orifício cilíndrico de raio
pelo centro de uma esfera de raio
. Para resolver, vamos usar o método dos discos: em cada altura
medimos a área da interseção entre o cilindro e a esfera e integramos de
até
.
Passo 2
Em altura
, o raio da seção da esfera é
Há duas situações:
- Se
, com , o cilindro cabe inteiro na seção da esfera e a área retirada é a área do círculo de raio , ou seja
- Se
, o cilindro “ultrapassa” a esfera e a área retirada é toda a área da seção da esfera,
Passo 3
O volume removido é
Passo 4
Calculemos cada integral:
Multiplicando por
dá
.
Passo 5
Somando e dobrando,