Calcule as seguintes integrais:
integralD x-yx+y d A D é a região triangular de vértices (0,0),(1,0) e (0,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = integral duplaD x - yx + y,dA
onde D é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1).
O conteúdo principal aqui é usar simetria de domínio e propriedades da integral dupla para mostrar que I=0.

Passo 2

Defina
I = integral duplaD x - yx + y,dA
Faça a troca de variáveis (x,y)mapsto(y,x). Como D é invariante por essa permuta (o triângulo é simétrico em relação à bissetriz y=x) e o jacobiano dessa troca é 1, segue que
I = integral duplaD y - xy + x,dA = -integral duplaD x - yx + y,dA = -I

Passo 3

Da igualdade I = -I obtemos 2I=0, logo
I = 0

Resposta

0

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