Q 16 Calcule os limites, envolvendo fatorações e indeterminação 0 / 0.
lim x 3 x^3-6 x-9x^3-8 x-3

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto3x^3-6x-9x^3-8x-3
Isso é um limite de função racional que dá indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Primeiro, verificamos a indeterminação substituindo x=3:
numerador = 3^3 - 6cdot3 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0,
denominador = 3^3 - 8cdot3 - 3 = 27 - 24 - 3 = 0
Como temos 0/0, é preciso fatorar para simplificar.

Passo 3

Fatoramos o numerador pelo Teorema do Resto (raiz x=3):
x^3 - 6x - 9 = (x-3)(x^2 + 3x + 3)

Passo 4

Do mesmo modo, fatoramos o denominador usando x=3 como raiz:
x^3 - 8x - 3 = (x-3)(x^2 + 3x + 1)

Passo 5

Agora a expressão do limite fica
x^3-6x-9x^3-8x-3 = (x-3)(x^2+3x+3)(x-3)(x^2+3x+1) = x^2+3x+3x^2+3x+1,
onde já cancelamos o fator (x-3). Essa nova função é contínua em x=3, então basta substituir:
limxto3x^2+3x+3x^2+3x+1 = 3^2 + 3cdot3 + 33^2 + 3cdot3 + 1 = 9 + 9 + 39 + 9 + 1 = 2119

Resposta

2119

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