8.5L Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas retas e , em torno da reta (sug. use uma rotação de eixos).
Passo 1
A região no plano é o triângulo com vértices , e , limitado por
Queremos o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno da reta .
Vamos fazer uma rotação de eixos de para que a reta vire o eixo , trabalhar no plano e usar o método dos cascos cilíndricos.
Passo 2
Definimos as novas coordenadas
Invertendo,
O jacobiano dessa transformação é
ou seja, . A reta de rotação fica exatamente em .]
Passo 3
As fronteiras originais viram, em uv: 1. y>=0 dá v>= u. 2. x<=2 dá v + u <= 2raiz2. 3. x>=2y dá v <= 3u.
Além disso a região fica em u>=0.
Logo, no plano uv temos o triângulo