8.5L Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas retas y=0, x=2 e x=2 y, em torno da reta y=x (sug. use uma rotação de eixos).

Passo 1

A região no plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (2,1), limitado por
y=0, x=2, x=2,y
Queremos o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno da reta y=x.
Vamos fazer uma rotação de eixos de 45^circ para que a reta y=x vire o eixo u=0, trabalhar no plano uv e usar o método dos cascos cilíndricos.

Passo 2

Definimos as novas coordenadas
Invertendo,
O jacobiano dessa transformação é
ou seja, . A reta de rotação fica exatamente em .]

Passo 3

As fronteiras originais viram, em uv:
1. y>=0 v>= u.
2. x<=2 v + u <= 2raiz2.
3. x>=2y v <= 3u.
Além disso a região fica em u>=0.
Logo, no plano uv temos o triângulo
0 <= u, u <= v <= min(3u,;2raiz2 - u)

Passo 4

Usamos cascos cilíndricos em torno de
Note que sempre, enquanto
As interseções vêm de em e .

Passo 5

O volume vem da integral
V = 2pi integralcasco l(raior)timesl(a<urar),du = 2pi gl[ integral0^raiz22 ul(3u - ur),du ;+; integralraiz22^raiz2 ul((2raiz2 - u) - ur),du gr]
Calculamos cada parte:
Para 0<= u<= tfracraiz22:
integral0^raiz22 u(2u),du = 2integral0^raiz22 u^2,du = 2[u^33]0^raiz22 = 2cdot(raiz22)^33 = raiz26
Para tfracraiz22<= u<= raiz2:
integralraiz22^raiz2 ul(2raiz2 -2ur),du = 2integralraiz22^raiz2 l(raiz2,u - u^2r),du = 2gl[ raiz2,u^22 - u^33 gr]raiz22^raiz2 = raiz23
Somando e multiplicando por 2pi:
V = 2pil(tfracraiz26 + tfracraiz23r) = 2picdottfracraiz22 = raiz2,pi

Resposta

V = raiz2,pi

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