Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
Considere também as seguintes condições de contorno:
(I)
(II)
(III)
.
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A)
(B)
Determine a solução
do problema com:
e
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação do calor
com condições de contorno homogêneas de Dirichlet
e condição inicial
O método a usar é separação de variáveis e expansão em série de senos (Série de Fourier).
Passo 2
Assumimos solução da forma
Para CC homogêneas de Dirichlet em
, os autovalores e autofunções são
Logo
Passo 3
Para determinar
, imponho a condição inicial
, isto é
Os coeficientes de Fourier-seno em
são dados por
Passo 4
Calculo a integral por partes: seja
.
Tomando ,
, temos
,
.
Então
Tomando
Então
Portanto