Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
100 ux x=ut, 0<x<1, t>0
Considere também as seguintes condições de contorno:
(I) lu(0, t)=0 u(1, t)=0
(II) lu(0, t)=50 u(1, t)=80
(III) lux(0, t)=0 ux(1, t)=0.
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A) u(x, 0)=10
(B) u(x, 0)=x
Determine a solução u(x, t) do problema com:
CC: I e CI: B

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor
100,uxx=ut, 0<x<1,;t>0
com condições de contorno homogêneas de Dirichlet
u(0,t)=0, u(1,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=x
O método a usar é separação de variáveis e expansão em série de senos (Série de Fourier).

Passo 2

Assumimos solução da forma
u(x,t)=sumn=1^inftyBn,e^-100lambdant,Xn(x)
Para CC homogêneas de Dirichlet em [0,1], os autovalores e autofunções são
lambdan=(npi)^2, Xn(x)=sin(npi x)
Logo
u(x,t)=sumn=1^inftyBn,e^-100,n^2pi^2t,sin(npi x)

Passo 3

Para determinar Bn, imponho a condição inicial u(x,0)=x, isto é
x=sumn=1^inftyBn,sin(npi x)
Os coeficientes de Fourier-seno em [0,1] são dados por
Bn=2integral0^1x,sin(npi x),dx

Passo 4

Calculo a integral por partes: seja I=integral0^1xsin(npi x),dx.
Tomando u=x, dv=sin(npi x)dx, temos du=dx, v=-cos(npi x)npi.
Então
I=l[-xcos(npi x)npir]0^1 +integral0^1cos(npi x)npi,dx =-cos(npi)npi +1npil[sin(npi x)npir]0^1 =-(-1)^nnpi
Portanto
Bn=2,I=-2(-1)^nnpi =2(-1)^n+1npi

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty2(-1)^n+1npi, e^-100,n^2pi^2t,sin(npi x)

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