Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
100 ux x=ut, 0<x<1, t>0
Considere também as seguintes condições de contorno:
(I) lu(0, t)=0 u(1, t)=0
(II) lu(0, t)=50 u(1, t)=80
(III) lux(0, t)=0 ux(1, t)=0.
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A) u(x, 0)=10
(B) u(x, 0)=x
Determine a solução u(x, t) do problema com:
CC: I e CI: A

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor unidimensional
ut=100,uxx, 0<x<1,;t>0,
com condições de contorno homogêneas de Dirichlet (I)
u(0,t)=0, u(1,t)=0
e condição inicial (A)
u(x,0)=10
O método clássico é separar variáveis e expandir a solução em série de autovetores sin(npi x).

Passo 2

Assumimos solução da forma
u(x,t)=sumn=1^inftyAn,e^-100,n^2pi^2t,sin(npi x)
Aqui os modos sin(npi x) surgem porque satisfazem
phi''+n^2pi^2phi=0 e phi(0)=phi(1)=0.

Passo 3

Para ajustar a condição inicial escrevemos
u(x,0)=sumn=1^inftyAnsin(npi x)=10
Pela ortogonalidade das funções sin(npi x) em [0,1] temos
An =2integral0^110sin(npi x),dx =20npil[1-(-1)^nr]
Como 1-(-1)^n=0 para n par e 2 para n ímpar, segue
An= 0,&n par, dfrac40npi,&n ímpar í

Passo 4

Substituindo em u(x,t) e escrevendo apenas os modos ímpares n=2k+1, k=0,1,2,dots, obtemos
u(x,t) =sumk=0^infty40(2k+1)pi ,e^-100,(2k+1)^2pi^2t, sin!l((2k+1)pi xr)

Resposta

u(x,t) =sumk=0^infty40(2k+1)pi ,e^-100,(2k+1)^2pi^2t, sin!l((2k+1)pi xr)

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