Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
Considere também as seguintes condições de contorno:
(I)
(II)
(III)
.
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A)
(B)
Determine a solução
do problema com:
e CI:
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor unidimensional
com condições de contorno homogêneas de Dirichlet (I)
e condição inicial (A)
O método clássico é separar variáveis e expandir a solução em série de autovetores
.
Passo 2
Assumimos solução da forma
Aqui os modos
surgem porque satisfazem
e
.
Passo 3
Para ajustar a condição inicial escrevemos
Pela ortogonalidade das funções
em
temos
Como
para
par e
para
ímpar, segue
Passo 4
Substituindo em
u(x,t) e escrevendo apenas os modos ímpares
n=2k+1 ,
k=0,1,2,dots , obtemos