Encontre a solução do problema abaixo com condições de Neuman homogêneo (significam condições de fluxo nulo, ou seja extremidades isoladas termicamente):
Passo 1
O enunciado dá a equação do calor unidimensional
ut - k,uxx = 0, xin(0,L),;t>0,
com condição inicial
u(x,0)=f(x), xin(0,L),
e condições de Neumann homogêneas (fluxo nulo nas extremidades)
ux(0,t)=0, ux(L,t)=0
Vamos resolver por separação de variáveis e expansão em série de cossenos.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em ut-k,uxx=0 e dividindo por k,X,T obtém-se
T'(t)k,T(t) ;=;X''(x)X(x) ;=;-,lambda
Isto leva aos problemas de autovalor
X'' + lambda,X = 0,
T' + k,lambda,T = 0
Passo 3
Resolver X''+lambda X=0 com as BC X'(0)=0 e X'(L)=0:
Para lambda=0 aparece X0(x)= constante.
Para lambda>0 escrevemos lambda=mu^2 e X=Acos(mu x)+Bsin(mu x).
Impondo X'(0)=0 dá B=0 e X'(L)=0 exige sin(mu L)=0, logo
mun = npiL, lambdan = l(tfracnpiLr)^2, Xn(x) = cos!l(tfracnpiLxr), n=0,1,2,dots