Encontre a solução do problema abaixo com condições de Neuman homogêneo (significam condições de fluxo nulo, ou seja extremidades isoladas termicamente):
c ut-k ux x=0, u in(0, L) times I u(x, 0)=f(x), x in(0, L) ux(0, t)=ux(L, t)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação do calor unidimensional
ut - k,uxx = 0, xin(0,L),;t>0,
com condição inicial
u(x,0)=f(x), xin(0,L),
e condições de Neumann homogêneas (fluxo nulo nas extremidades)
ux(0,t)=0, ux(L,t)=0
Vamos resolver por separação de variáveis e expansão em série de cossenos.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em ut-k,uxx=0 e dividindo por k,X,T obtém-se
T'(t)k,T(t) ;=;X''(x)X(x) ;=;-,lambda
Isto leva aos problemas de autovalor
X'' + lambda,X = 0,
T' + k,lambda,T = 0

Passo 3

Resolver X''+lambda X=0 com as BC X'(0)=0 e X'(L)=0:
Para lambda=0 aparece X0(x)= constante.
Para lambda>0 escrevemos lambda=mu^2 e X=Acos(mu x)+Bsin(mu x).
Impondo X'(0)=0 B=0 e X'(L)=0 exige sin(mu L)=0, logo
mun = npiL, lambdan = l(tfracnpiLr)^2, Xn(x) = cos!l(tfracnpiLxr), n=0,1,2,dots

Passo 4

A equação temporal T' + k,lambdan,T=0 tem solução
Tn(t) = e^-,k,lambdan,t
Portanto a solução geral fica
u(x,t) = C0 + sumn=1^infty Cn,e^-,k,(npi/L)^2,t, cos!l(tfracnpiLxr)

Passo 5

Para satisfazer u(x,0)=f(x) expandimos
f(x) = C0 + sumn=1^infty Cn,cos!l(tfracnpiLxr)
Pela ortogonalidade em [0,L] obtemos
C0 = 1Lintegral0^Lf(s),ds, Cn = 2Lintegral0^Lf(s), cos!l(tfracnpiLsr),ds (n>=1)

Resposta

u(x,t) = 1Lintegral0^Lf(s),ds + sumn=1^infty l[2Lintegral0^Lf(s)cos!l(tfracnpiLsr),dsr], e^-,k,(npi/L)^2,t, cos!l(tfracnpiLxr)

Exercícios relacionados