(0.5p) Encontre a solução real para d y / d t-2 y=cos (w t) a partir de y(0)=0, em três etapas: Resolva a equação complexa dz / dt cdot 2 z=exp ( iwt ), pegue Yp=Rez e adicione a solução nula Y n=C exp (2 t) com o C correto.
R:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
dydt-2y=cos(wt),
com a condição inicial y(0)=0, usando o método dos coeficientes complexos. Vamos (1) resolver a equação complexa tfracdzdt-2z=e^iwt, (2) extrair a parte real Yp=Rez e (3) adicionar a solução homogênea Yn=C,e^2t ajustando C pela condição inicial.

Passo 2

Procuramos uma solução particular complexa da forma
zp(t)=A,e^iwt
Substituindo em tfracdzdt-2z=e^iwt
(iw-2),A,e^iwt=e^iwt Longrightarrow A=1iw-2=-2 - i,ww^2+4
Logo
zp(t)=-2 - i,ww^2+4,e^iwt
A parte real é
Yp(t)=Rezp(t) =-2cos(wt)+wsin(wt)w^2+4 =wsin(wt)-2cos(wt)w^2+4

Passo 3

A solução geral real é
y(t)=Yp(t)+Yn(t) com Yn(t)=C,e^2t
Impondo y(0)=0 temos
0=y(0) =wsin0-2cos0w^2+4+C =-2w^2+4+C Longrightarrow C=2w^2+4

Resposta

y(t) =wsin(wt)-2cos(wt)w^2+4 +2w^2+4,e^2t

Exercícios relacionados