QUESTÃO 2 - Escolha 2 ( 4 se for dupla; 6 se for trio) funções entre aquelas apresentadas abaixo; se existirem, estabeleça os valores da variável x que fazem com que essas funções sejam convergentes. Em outras palavras, defina o intervalo de convergência das séries escolhidas.
sumk=0^infty x^kln ^k(d)

Passo 1

O enunciado apresenta a série
sumk=0^inftyx^kln^k(d),
queremos determinar para quais valores de x essa série converge. O conteúdo envolvido é o de séries geométricas e o teste da razão.

Passo 2

Observe que
x^kln^k(d)=l(xln(d)r)^k
Logo, a série pode ser reescrita como
sumk=0^inftyl(xln(d)r)^k,
que é uma série geométrica de “razão” r=dfracxln(d).

Passo 3

Pela teoria de séries geométricas (ou pelo teste da razão), sabe-se que
sumk=0^inftyr^k
converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui,
r=xln(d),
portanto a condição de convergência é
gllvertxln(d)grrvert<1 Long<=ftrightarrow lvert xrvert<lvertln(d)rvert

Passo 4

Resta verificar os extremos lvert xrvert=lvertln(d)rvert. Nesse caso cada termo da série fica
l(tfracxln(d)r)^k=pm1
e, portanto, não tende a zero, logo a série diverge nos extremos.

Resposta

O intervalo de convergência é
l(-lvertln(d)rvert,;lvertln(d)rvertr)

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