A integral
integral triplaR raizx^2+y^2+z^2 d V
em que R é a região sólida interna à esfera x^2+y^2+z^2=25 com x <= 0, y >= 0 e z >= 0, é igual a
125 pi4.
125 pi2.
625 pi4.
125 pi8.
625 pi8.
outro valor.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaR raizx^2+y^2+z^2,dV
onde R é a região dentro da esfera x^2+y^2+z^2=25 sujeita às condições x<=0, y>=0 e z>=0.
O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas para transformar a integral e aproveitar a simetria radial.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
de modo que
raizx^2+y^2+z^2 = r e dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta
Assim o integrando fica r e o Jacobiano é r^2sinphi.

Passo 3

Precisamos achar os limites para (r,phi,theta) que descrevem R.
  • A bola de raio 5 dá 0 <= r <= 5
  • A condição z>=0 implica 0 <= phi <= pi2
  • As condições x<=0 e y>=0 fixam o ângulo azimutal pi2 <= theta <= pi

Passo 4

Substituindo na integral tripla, obtemos
integral triplaR raizx^2+y^2+z^2,dV =integralr=0^5integralphi=0^pi/2integraltheta=pi/2^pi l(rr)l(r^2sinphir),dtheta,dphi,dr =integral0^5r^3,dr integral0^pi/2sinphi,dphi integralpi/2^pidtheta

Passo 5

Calculando cada uma:
integral0^5r^3,dr =5^44 =6254,
integral0^pi/2sinphi,dphi =l[-cosphir]0^pi/2 =1,
integralpi/2^pidtheta =pi - pi2 =pi2
Multiplicando,
6254times 1 times pi2 =625pi8

Resposta

625pi8

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