(5Pontos) Considere a equação diferencial
d yd x=3 x^2-yx-3 y
(a) (1 Ponto) Reescreva a equação na forma M(x, y)+N(x, y) d yd x=0 e verifique se ela é exata.
(b) (4 Pontos) Caso seja exata, resolva a equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx = 3x^2 - yx - 3y
e pede para reescrevermos na forma
M(x,y) + N(x,y),dydx = 0
e verificar se é exata. Esse é um problema clássico de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Multiplicando os dois lados por x-3y e levando tudo para um lado, obtemos
(x - 3y),dydx - (3x^2 - y) = 0
Logo podemos escolher
M(x,y) = y - 3x^2, N(x,y) = x - 3y,
de modo que
M(x,y) + N(x,y),dydx = 0

Passo 3

Para verificar exatidão calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Sendo exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y) e partial psipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integral (y - 3x^2),dx = x,y - x^3 + h(y)
Agora impomos
partial psipartial y = x + h'(y) stackrel!= N(x,y) = x - 3y,
de onde h'(y) = -3y e, integrando, h(y) = -tfrac32 y^2.
Assim
psi(x,y) = x,y - x^3 - tfrac32 y^2

Passo 5

A solução geral implícita vem de
psi(x,y) = C,
isto é,
x,y - x^3 - tfrac32 y^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x,y - x^3 - tfrac32 y^2 = C

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