(5Pontos) Considere a equação diferencial
(a) (1 Ponto) Reescreva a equação na forma
e verifique se ela é exata.
(b) (4 Pontos) Caso seja exata, resolva a equação.
(b) (4 Pontos) Caso seja exata, resolva a equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para reescrevermos na forma
e verificar se é exata. Esse é um problema clássico de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Multiplicando os dois lados por
e levando tudo para um lado, obtemos
Logo podemos escolher
de modo que
Passo 3
Para verificar exatidão calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Sendo exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Agora impomos
de onde
e, integrando,
.
Assim
Assim
Passo 5
A solução geral implícita vem de
isto é,
onde
é constante arbitrária.