3 Mostre que se duas alturas de um triângulo são congruentes, o triângulo é isósceles.

Passo 1

Beleza, resumindo o que o enunciado dá e o que precisamos: no triângulo ABC as alturas AA' e BB' são congruentes. Queremos mostrar que dois lados também são congruentes, o que caracteriza um triângulo isósceles. Vamos usar a fórmula da área em função das alturas.

Passo 2

Seja ha = AA' a altura relativa ao lado BC. A área T do triângulo pode ser escrita em função de ha como:
T = 12,BC,ha

Passo 3

De forma análoga, seja hb = BB' a altura relativa ao lado AC. A área também vale:
T = 12,AC,hb
Igualando as duas expressões para T vem:
BC,ha = AC,hb
Como ha = hb por hipótese,
BC = AC

Passo 4

Ter BC = AC significa que o triângulo ABC tem dois lados congruentes e, portanto, é isósceles, com base em AB.

Resposta

O triângulo ABC é isósceles, pois BC = AC.

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