3 Mostre que se duas alturas de um triângulo são congruentes, o triângulo é isósceles.
Passo 1
Beleza, resumindo o que o enunciado dá e o que precisamos: no triângulo
as alturas
e
são congruentes. Queremos mostrar que dois lados também são congruentes, o que caracteriza um triângulo isósceles. Vamos usar a fórmula da área em função das alturas.
Passo 2
Seja
a altura relativa ao lado
. A área
do triângulo pode ser escrita em função de
como:
Passo 3
De forma análoga, seja
a altura relativa ao lado
. A área também vale:
Igualando as duas expressões para
vem:
Como
por hipótese,
Passo 4
Ter
significa que o triângulo
tem dois lados congruentes e, portanto, é isósceles, com base em
.
Resposta
O triângulo
é isósceles, pois
.