(5Pontos) Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial:
d yd x=2 x-yx-2 y

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
dydx = 2x - yx - 2y
e nota-se que o membro direito depende apenas de y/x. Isso indica que a equação é homogênea de grau zero. Para resolver, vamos usar a substituição
y = v x,
o que transforma a equação em forma separável, pois
dydx = v + xdvdx

Passo 2

Substituindo y=vx na EDO temos
v + x dvdx = 2x - vxx - 2vx = 2 - v1 - 2v
Logo a equação vira
v + x dvdx = 2 - v1 - 2v

Passo 3

Isolamos dv/dx e separamos variáveis:
xdvdx = 2 - v1 - 2v - v = 2 - v - v(1 - 2v)1 - 2v = 2 - 2v + 2v^21 - 2v = 2,1 - v + v^21 - 2v
Assim obtemos a forma separável
1 - 2v2(1 - v + v^2),dv = dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado de v:
integral 1 - 2v2(1 - v + v^2),dv = 12integral 1 - 2v1 - v + v^2,dv
Observando que 1-2v=-(2v-1) e tfracddv(v^2 - v +1)=2v-1, segue
12integral 1 - 2v1 - v + v^2,dv = -12lnl(v^2 - v + 1r)
No lado de x:
integral dxx = ln|x|
Portanto
-12lnl(v^2 - v + 1r) = ln|x| + C

Passo 5

Reorganizando e exponenciando, obtemos
v^2 - v + 1 = C,x^-2
Substituindo v = y/x e multiplicando por x^2, chega-se a
y^2 - x y + x^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
y^2 - x y + x^2 = C,
com C constante.

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