(5 Pontos) Considere a equação diferencial abaixo:
e os problemas de valor inicial (PVI) correspondentes.
a) (1.5 Pontos) Reescreva a equação na forma padrão e verifique se o problema de valor inicial com condição
possui solução única, com base no Teorema da Existência e Unicidade para EDOs lineares de primeira ordem.
b) (3.5Pontos) Resolva o problema de valor inicial com a condição
.
a) (1.5 Pontos) Reescreva a equação na forma padrão e verifique se o problema de valor inicial com condição
b) (3.5Pontos) Resolva o problema de valor inicial com a condição
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede, em (a), que a coloquemos na forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem e verifiquemos existência e unicidade do PVI com
; em (b), que resolvamos esse PVI.
Passo 2
Para reescrever na forma padrão dividimos por
(supondo
):
Aqui identificamos
Ambas são contínuas em qualquer intervalo que não contenha
. Como
está em
, existe um intervalo aberto em torno de
onde
e
são contínuas. Pelo Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares, o PVI com
tem solução única nesse intervalo.
Passo 3
Para resolver usamos o fator integrante
Multiplicando a equação padrão por
obtém-se
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
de onde a solução geral é
Passo 5
Impondo a condição
: