(5 Pontos) Considere a equação diferencial abaixo:
x^2 y^prime+2 x y=sen(x),
e os problemas de valor inicial (PVI) correspondentes.
a) (1.5 Pontos) Reescreva a equação na forma padrão e verifique se o problema de valor inicial com condição y(pi2)=0 possui solução única, com base no Teorema da Existência e Unicidade para EDOs lineares de primeira ordem.
b) (3.5Pontos) Resolva o problema de valor inicial com a condição y(pi2)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^2y' + 2x,y = sen(x)
e pede, em (a), que a coloquemos na forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem e verifiquemos existência e unicidade do PVI com y(tfracpi2)=0; em (b), que resolvamos esse PVI.

Passo 2

Para reescrever na forma padrão dividimos por x^2 (supondo xneq0):
y' + 2x,y = sen(x)x^2
Aqui identificamos
p(x)=2x, q(x)=sen(x)x^2
Ambas são contínuas em qualquer intervalo que não contenha x=0. Como tfracpi2 está em (0,infty), existe um intervalo aberto em torno de tfracpi2 onde p e q são contínuas. Pelo Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares, o PVI com y(tfracpi2)=0 tem solução única nesse intervalo.

Passo 3

Para resolver usamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = exp(2ln|x|) = x^2
Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtém-se
x^2y' + 2x,y = sen(x) ;Longrightarrow; ddxl(x^2yr) = sen(x)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y = integral sen(x),dx = -cos(x) + C,
de onde a solução geral é
y(x) = -cos(x) + Cx^2

Passo 5

Impondo a condição yl(tfracpi2r)=0:
0 = yl(tfracpi2r) = -cos(tfracpi2) + C(tfracpi2)^2 = -0 + Cpi^2/4 ;Longrightarrow;C=0

Resposta

y(x) = -cos(x)x^2

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