(2.5pt) Considere a região R do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^2 e y=8-x^2.
(a) Esboce a região R e calcule sua área.
(b) Expresse, por meio de uma integral, o volume do sólido S obtido pela rotação da região R em torno do eixo x, seja pelo método das cascas ou das fatias. Não é necessário calcular a integral.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R no primeiro quadrante limitada pelas parábolas
,y = x^2 (abaixo) e ,y = 8 - x^2 (acima),
e em seguida o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x.
Vamos usar cálculo de integrais para área (diferença de funções) e para volume (método dos discos).

Passo 2

Primeiro encontramos as abscissas de interseção resolvendo
x^2 = 8 - x^2 ;Longrightarrow; 2x^2 = 8 ;Longrightarrow; x^2 = 4 ;Longrightarrow; x = pm 2
No primeiro quadrante consideramos 0 <= x <= 2.
Ao esboçar, a curva y=x^2 cresce para cima a partir da origem, e y=8-x^2 desce a partir de y=8; elas se cruzam em x=2, formando uma “lente” entre x=0 e x=2.

Passo 3

A área de R é
Área = integral0^2 l[(8 - x^2) - x^2r] , dx = integral0^2 l(8 - 2x^2r) , dx Á
Calculando separadamente,
integral0^2 8 , dx = 8cdot2 = 16, integral0^2 2x^2 , dx = 2cdot2^33 = 163,
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Área = 16 - 163 = 48 - 163 = 323 Á

Passo 4

Para o volume do sólido S gerado pela rotação de R em torno do eixo x, usamos o método dos discos (fatias circulares). Em cada xin[0,2] o raio externo é
R(x) = 8 - x^2
e o raio interno é
r(x) = x^2
Assim o volume é dado por
V = integral0^2 pil[R(x)^2 - r(x)^2r] , dx = integral0^2 pil[(8 - x^2)^2 - (x^2)^2r] , dx,
sem necessidade de avaliar a integral.

Resposta

A área da região é 323.
O volume do sólido de revolução em torno do eixo x é
V = integral0^2 pil[(8 - x^2)^2 - (x^2)^2r] , dx

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