(2.5pt) Considere a região
do primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
.
(a) Esboce a região
e calcule sua área.
(b) Expresse, por meio de uma integral, o volume do sólido
obtido pela rotação da região
em torno do eixo
, seja pelo método das cascas ou das fatias. Não é necessário calcular a integral.
(a) Esboce a região
(b) Expresse, por meio de uma integral, o volume do sólido
Passo 1
O enunciado pede a área da região
no primeiro quadrante limitada pelas parábolas
(abaixo) e
(acima),
e em seguida o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
.
Vamos usar cálculo de integrais para área (diferença de funções) e para volume (método dos discos).
e em seguida o volume do sólido obtido ao girar
Vamos usar cálculo de integrais para área (diferença de funções) e para volume (método dos discos).
Passo 2
Primeiro encontramos as abscissas de interseção resolvendo
No primeiro quadrante consideramos
.
Ao esboçar, a curva cresce para cima a partir da origem, e
desce a partir de
; elas se cruzam em
, formando uma “lente” entre
e
.
Ao esboçar, a curva
Passo 3
A área de
é
Calculando separadamente,
logo
Passo 4
Para o volume do sólido
gerado pela rotação de
em torno do eixo
, usamos o método dos discos (fatias circulares). Em cada
o raio externo é
e o raio interno é
Assim o volume é dado por
sem necessidade de avaliar a integral.
Resposta
A área da região é
.
O volume do sólido de revolução em torno do eixo é
O volume do sólido de revolução em torno do eixo