Exercício 28. O objetivo deste exercício é verificar que raízes simples de polinômios dependem diferenciavelmente (na verdade, em classe C^infty ) dos coeficientes do polinômio.
Para cada a=(a0, a1, ldots, an) in C^n+1=R^2 n+2, indique um polinômio complexo por
pa(z)=a0+a1 z+a2 z^2+cdots+an z^n, z in C
Seja z0 in C uma raiz simples de pa. Mostre que existem vizinhanças U e V, de a e de z0, respectivamente, tais que
b in U Longrightarrow existe única raiz (simp<=s) z=z(b) de pb ú
Além disso, a aplicação b mapsto z(b) é de classe C^infty.

Passo 1

O enunciado define, para cada vetor de coeficientes a=(a0,a1,dots,an)inC^n+1simeqR^2n+2, o polinômio
pa(z)=a0+a1z+cdots+anz^n, zinC
Dado z0 raiz simples de pa, ou seja ,pa(z0)=0 e pa'(z0)neq0, queremos mostrar que existem vizinhanças UsubsetC^n+1 de a e VsubsetC de z0 tais que, para todo bin U, existe única raiz simples z(b)in V de pb, e que bmapsto z(b) é de classe C^infty.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Função Implícita, escrevemos F como função real de duas variáveis reais: identificamos C^n+1simeqR^2n+2 e CsimeqR^2, e definimos
F:R^2n+2timesR^2;longrightarrow;R^2, F(a,x,y)=l(Re pa(x+iy),,Im pa(x+iy)r)
Como pa(z) é polinomial em (a,z), F é C^infty em todas as variáveis reais.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de F em relação a (x,y) no ponto (a,z0). Em termos complexos,
partialpartial zpa(z)|z=z0=pa'(z0)neq0
Isso implica que a matriz jacobiana real D(x,y)F(a,z0)inR^2times2 é invertível (pois corresponde à multiplicação por pa'(z0), cujo determinante real vale l|pa'(z0)r|^2>0).

Passo 4

Pelo Teorema da Função Implícita em R, como F é C^infty e D(x,y)F(a,z0) é invertível, existem vizinhanças abertas U de a em R^2n+2 e W de (x0,y0) em R^2 (onde z0=x0+iy0) e uma função única C^infty
Phi:Ulongrightarrow W, Phi(b)=(x(b),y(b)),
tal que Fl(b,Phi(b)r)=0 e Phi(a)=(x0,y0).

Passo 5

Definindo z(b)=x(b)+i,y(b), obtemos que pbl(z(b)r)=0 para todo bin U, a raiz z(b) está em V=WsubsetC, é única em V pela unicidade do Teorema da Função Implícita, e é simples pois pb'l(z(b)r) permanece não nula em U. Além disso, bmapsto z(b) é C^infty como composição de mapas C^infty.

Resposta

Existem vizinhanças U de a e V de z0 tais que, para cada bin U, há uma única raiz simples z(b)in V de pb, e a aplicação bmapsto z(b) é de classe C^infty.

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