Exercício 28. O objetivo deste exercício é verificar que raízes simples de polinômios dependem diferenciavelmente (na verdade, em classe ) dos coeficientes do polinômio.
Para cada , indique um polinômio complexo por
Seja uma raiz simples de . Mostre que existem vizinhanças e , de e de , respectivamente, tais que
Além disso, a aplicação é de classe .
Passo 1
O enunciado define, para cada vetor de coeficientes , o polinômio
Dado raiz simples de , ou seja e , queremos mostrar que existem vizinhanças de e de tais que, para todo , existe única raiz simples de , e que é de classe .
Passo 2
Para aplicar o Teorema da Função Implícita, escrevemos como função real de duas variáveis reais: identificamos e , e definimos
Como é polinomial em , é em todas as variáveis reais.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de em relação a no ponto . Em termos complexos,
Isso implica que a matriz jacobiana real D(x,y)F(a,z0)inR^2times2 é invertível (pois corresponde à multiplicação por pa'(z0), cujo determinante real vale l|pa'(z0)r|^2>0).
Passo 4
Pelo Teorema da Função Implícita em R, como F é C^infty e D(x,y)F(a,z0) é invertível, existem vizinhanças abertas U de a em R^2n+2 e W de (x0,y0) em R^2 (onde z0=x0+iy0) e uma função única C^infty
Phi:Ulongrightarrow W, Phi(b)=(x(b),y(b)),
tal que Fl(b,Phi(b)r)=0 e Phi(a)=(x0,y0).
Passo 5
Definindo z(b)=x(b)+i,y(b), obtemos que pbl(z(b)r)=0 para todo bin U, a raiz z(b) está em V=WsubsetC, é única em V pela unicidade do Teorema da Função Implícita, e é simples pois pb'l(z(b)r) permanece não nula em U. Além disso, bmapsto z(b) é C^infty como composição de mapas C^infty.
Resposta
Existem vizinhanças U de a e V de z0 tais que, para cada bin U, há uma única raiz simples z(b)in V de pb, e a aplicação bmapsto z(b) é de classe C^infty.