5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^prime :
2 y y^prime prime=-1+(y^prime)^2 ; y(0)=1, y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
2y,y'' = -1 + (y')^2, y(0)=1,;y'(0)=1
usando a substituição z = y'. Trata-se de uma EDO de segunda ordem que podemos reduzir a uma de primeira ordem em y e z.

Passo 2

Com z=y' temos
y'' = dzdx = dzdy,dydx = z,dzdy
Substituindo em 2y,y'' = z^2 -1
2y;z,dzdy = z^2 - 1

Passo 3

Antes de separar variáveis, note que se z^2-1=0 então z=pm1 é solução constante de
2y,z,dzdy = z^2-1=0
Para z=1 temos y'=1implies y=x+C, e para z=-1 temos y=-x+C. Essas são soluções singulares do problema.

Passo 4

Agora, supondo z^2neq1, escrevemos
dydz = 2y,zz^2-1 Longrightarrow 1y,dy = 2zz^2-1,dz
Integrando ambos os lados,
integral 1y,dy = integral 2zz^2-1,dz ;Longrightarrow; ln|y| = ln|z^2-1| + C ;Longrightarrow; y = K,(z^2-1)
Voltando a z=y', a solução geral “regular” é
y = Kl((y')^2-1r)

Passo 5

Aplicando as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=1 na solução geral, vemos que z(0)=1 implica z^2(0)-1=0, o que forçaria y(0)=Kcdot0=0, em contradição com y(0)=1. Logo, não podemos usar a solução geral regular; devemos usar a solução singular z=1.

Passo 6

Com z=y'=1 constante segue
y' = 1 ;Longrightarrow; y = x + C
Impondo y(0)=1 C=1, ou seja
y(x) = x + 1

Resposta

y(x) = x + 1

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