5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição
:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando a substituição
. Trata-se de uma EDO de segunda ordem que podemos reduzir a uma de primeira ordem em
e
.
Passo 2
Com
temos
Substituindo em
dá
Passo 3
Antes de separar variáveis, note que se
então
é solução constante de
Para
temos
, e para
temos
. Essas são soluções singulares do problema.
Passo 4
Agora, supondo
, escrevemos
Integrando ambos os lados,
Voltando a
, a solução geral “regular” é
Passo 5
Aplicando as condições iniciais
,
na solução geral, vemos que
implica
, o que forçaria
, em contradição com
. Logo, não podemos usar a solução geral regular; devemos usar a solução singular
.
Passo 6
Com
constante segue
Impondo
dá
, ou seja