- Prove que o polinômio cúbico
tem um máximo local e um mínimo local, então o ponto de inflexão é o ponto médio do segmento de reta que liga os extremos locais.
Passo 1
O enunciado pede para a cúbica
que admite um máximo e um mínimo locais (isto é,
tem duas raízes reais distintas), provar que o ponto de inflexão de
é exatamente o ponto médio do segmento que liga os dois extremos locais.
Conteúdo: derivadas, localização de extremos e de ponto de inflexão, propriedades de soma e produto de raízes de equação quadrática, e cálculo de médias de pontos no plano.
Conteúdo: derivadas, localização de extremos e de ponto de inflexão, propriedades de soma e produto de raízes de equação quadrática, e cálculo de médias de pontos no plano.
Passo 2
Para encontrar os extremos locais calculamos
e resolvemos
. Como
pelos extremos reais, as duas raízes são
Passo 3
O ponto de inflexão vem de
que dá
Passo 4
Mostramos que
é a média aritmética de
e
. De fato, pela soma de raízes de
vale
então
Passo 5
Falta ver que a coordenada
do ponto de inflexão, isto é
, é a média das ordenadas dos extremos,
. Começamos por
Usamos as identidades
com
e
. Substituindo e simplificando obtemos
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Passo 6
Como as abscissas e as ordenadas do ponto de inflexão
coincidem com as médias das abscissas e das ordenadas de
e
, concluímos que o ponto de inflexão é o ponto médio do segmento que liga os dois extremos locais.
Resposta
O ponto de inflexão de
coincide com o ponto médio do segmento que une os extremos locais.