1. Prove que o polinômio cúbico p(x)=x^3+a x^2+b x+c tem um máximo local e um mínimo local, então o ponto de inflexão é o ponto médio do segmento de reta que liga os extremos locais.

Passo 1

O enunciado pede para a cúbica
p(x)=x^3+a x^2+b x+c
que admite um máximo e um mínimo locais (isto é, p'(x)=0 tem duas raízes reais distintas), provar que o ponto de inflexão de p é exatamente o ponto médio do segmento que liga os dois extremos locais.
Conteúdo: derivadas, localização de extremos e de ponto de inflexão, propriedades de soma e produto de raízes de equação quadrática, e cálculo de médias de pontos no plano.

Passo 2

Para encontrar os extremos locais calculamos
p'(x)=3x^2+2ax+b
e resolvemos p'(x)=0. Como a^2-3b>0 pelos extremos reais, as duas raízes são
x1,x2=-2apmraiz4a^2-12b6 =-apmraiza^2-3b3

Passo 3

O ponto de inflexão vem de
p''(x)=6x+2a=0
que dá
x0=-a3

Passo 4

Mostramos que x0 é a média aritmética de x1 e x2. De fato, pela soma de raízes de 3x^2+2ax+b=0 vale
x1+x2=-2a3,
então
x1+x22=-a3=x0

Passo 5

Falta ver que a coordenada y do ponto de inflexão, isto é p(x0), é a média das ordenadas dos extremos, tfracp(x1)+p(x2)2. Começamos por
p(x1)+p(x2) =x1^3+x2^3+a(x1^2+x2^2)+b(x1+x2)+2c
Usamos as identidades
x1^3+x2^3=(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2), x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2,
com
,x1+x2=-tfrac2a3 e x1x2=tfracb3. Substituindo e simplificando obtemos
p(x1)+p(x2) =2l[!-tfraca3r]^3 +2al[!-tfraca3r]^2 +2bl[!-tfraca3r] +2c =2,pl(-tfraca3r) =2,p(x0)
Logo
p(x0)=p(x1)+p(x2)2

Passo 6

Como as abscissas e as ordenadas do ponto de inflexão l(x0,p(x0)r) coincidem com as médias das abscissas e das ordenadas de l(x1,p(x1)r) e l(x2,p(x2)r), concluímos que o ponto de inflexão é o ponto médio do segmento que liga os dois extremos locais.

Resposta

O ponto de inflexão de p coincide com o ponto médio do segmento que une os extremos locais.

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