(1.5pts) Indique, justificando, as afirmações que são verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as afirmações que são falsas:
(a) Se
é diferenciável em
, então
também é diferenciável para
.
Falso. A função
é diferenciável em
, mas
não é diferenciável para
.
(b) Se
é uma função contínua em toda a reta real, e se
, então
tem pelo menos um zero.
Verdadeiro. Como
, existe
tal que
. Como
, existe
tal que
. Uma vez que
é contínua em
, concluímos, pelo teorema do valor intermediário, que existe
no intervalo
tal que
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre uma função
:
(a) se é diferenciável em
, então
também é diferenciável em
;
(b) se é contínua em
e
,
,
então tem pelo menos um zero.
Para (a) precisamos revisar a definição de diferenciabilidade e buscar um contraexemplo; para (b) vamos usar o Teorema do Valor Intermediário.
(a) se
(b) se
então
Para (a) precisamos revisar a definição de diferenciabilidade e buscar um contraexemplo; para (b) vamos usar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Para (a), considere
.
– Calculamos a derivada em :
– Calculamos a derivada em
logo
é diferenciável em
.
– Agora tome . As derivadas laterais em
são
– Agora tome
que não coincidem, mostrando que
não é diferenciável em
.
Portanto, a afirmação (a) é falsa.
Portanto, a afirmação (a) é falsa.
Passo 3
Para (b), use os limites dados:
implica que existe
com
,
e implica que existe
com
.
Assim, e
são de sinais contrários.
e
Assim,
Passo 4
Como
é contínua em
e
, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe
tal que
.
Logo, a afirmação (b) é verdadeira.
Logo, a afirmação (b) é verdadeira.
Resposta
(a) Falsa. Contraexemplo:
é diferenciável em
, mas
não o é.
(b) Verdadeira. Pelos limites em e pela continuidade de
, o Teorema do Valor Intermediário assegura que
possui ao menos uma raiz.
(b) Verdadeira. Pelos limites em