(1.5pts) Indique, justificando, as afirmações que são verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as afirmações que são falsas:
(a) Se f é diferenciável em x=0, então |f| também é diferenciável para x=0.
Falso. A função f(x)=x é diferenciável em x=0, mas |f(x)|=|x| não é diferenciável para x=0.
(b) Se f é uma função contínua em toda a reta real, e se lim x +infty f(x)=+infty e lim x -infty f(x)=-infty, então f tem pelo menos um zero.
Verdadeiro. Como lim x +infty f(x)=+infty, existe b tal que f(b)>0. Como lim x -infty f(x)=-infty, existe a tal que f(a)<0. Uma vez que f é contínua em [a, b], concluímos, pelo teorema do valor intermediário, que existe c no intervalo (a, b) tal que f(c)=0.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações sobre uma função f:
(a) se f é diferenciável em x=0, então lvert frvert também é diferenciável em 0;
(b) se f é contínua em R e
limxto+inftyf(x)=+infty,
limxto-inftyf(x)=-infty,
então f tem pelo menos um zero.
Para (a) precisamos revisar a definição de diferenciabilidade e buscar um contraexemplo; para (b) vamos usar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Para (a), considere f(x)=x.
– Calculamos a derivada em 0:
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h =limhto0h-0h=1,
logo f é diferenciável em 0.
– Agora tome g(x)=|f(x)|=|x|. As derivadas laterais em 0 são
limhto0^+|h|-0h=1, limhto0^-|-h|-0h=-1,
que não coincidem, mostrando que |x| não é diferenciável em 0.
Portanto, a afirmação (a) é falsa.

Passo 3

Para (b), use os limites dados:
limxto+inftyf(x)=+infty implica que existe b com f(b)>0,
e limxto-inftyf(x)=-infty implica que existe a com f(a)<0.
Assim, f(a) e f(b) são de sinais contrários.

Passo 4

Como f é contínua em [a,b] e f(a)<0<f(b), o Teorema do Valor Intermediário garante que existe cin(a,b) tal que f(c)=0.
Logo, a afirmação (b) é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa. Contraexemplo: f(x)=x é diferenciável em 0, mas |x| não o é.
(b) Verdadeira. Pelos limites em pminfty e pela continuidade de f, o Teorema do Valor Intermediário assegura que f possui ao menos uma raiz.

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