Questão 3 (2,0 pontos)
Uma lagoa contém 10^5 m^3 de água poluida com uma concentração de 1 kg / m^3 de poluentes. A lagoa recebe um fluxo de 5000 m^3 / mês de água com uma concentração de 0,5 kg / m^3 de poluentes, ao mesmo tempo água é retirada por um riacho com a mesma vazão de entrada. Supondo que a concentração é uniforme em toda a lagoa, Determine a concentração de poluentes na lagoa no instante t , e o limite da concentração quando t infty.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura numa lagoa de volume constante V=10^5 m^3, com vazão de entrada e saída iguais a Q=5000 m^3/mês. A água que entra tem concentração de poluentes Cin=0,5 kg/ m^3 e a lagoa inicia com concentração C(0)=1 kg/ m^3. Vamos formular uma equação diferencial para a massa de poluentes e, a partir dela, obter a concentração C(t) e seu limite quando ttoinfty.

Passo 2

Seja M(t) a massa de poluentes na lagoa em kg. A variação dessa massa satisfaz o balanço
dMdt =Q,Cin-Q,M(t)V,
pois entra água com concentração Cin e sai água com concentração uniforme M(t)/V. Note que V é constante e igual ao volume da lagoa.

Passo 3

Reescrevendo a equação:
dMdt + QVM = Q,Cin
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem com coeficiente QV=500010^5=0,05. A solução geral é
M(t) =V,Cin+l(M(0)-V,Cinr)e^-QVt
Como M(0)=V,C(0)=10^5cdot1=10^5 kg, temos
M(t) =10^5times0,5+l(10^5-10^5times0,5r)e^-0,05,t =5times10^4+5times10^4e^-0,05,t

Passo 4

A concentração na lagoa é C(t)=M(t)/V. Logo,
C(t) =M(t)10^5 =0,5+0,5,e^-0,05,tl(kg/m^3r)

Passo 5

Para ttoinfty, o termo exponencial vai a zero, então
limttoinftyC(t)=0,5 kg/m^3,
que é justamente a concentração da água que entra.

Resposta

A concentração de poluentes na lagoa é
C(t)=0,5+0,5,e^-0,05,t l(kg/m^3r),
e seu limite quando ttoinfty é
limttoinftyC(t)=0,5 kg/m^3

Exercícios relacionados