Questão 3 (2,0 pontos)
Uma lagoa contém
de água poluida com uma concentração de
de poluentes. A lagoa recebe um fluxo de
mês de água com uma concentração de
de poluentes, ao mesmo tempo água é retirada por um riacho com a mesma vazão de entrada. Supondo que a concentração é uniforme em toda a lagoa, Determine a concentração de poluentes na lagoa no instante t , e o limite da concentração quando
.
Uma lagoa contém
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura numa lagoa de volume constante
, com vazão de entrada e saída iguais a
/mês. A água que entra tem concentração de poluentes
kg/
e a lagoa inicia com concentração
kg/
. Vamos formular uma equação diferencial para a massa de poluentes e, a partir dela, obter a concentração
e seu limite quando
.
Passo 2
Seja
a massa de poluentes na lagoa em kg. A variação dessa massa satisfaz o balanço
pois entra água com concentração
e sai água com concentração uniforme
. Note que
é constante e igual ao volume da lagoa.
Passo 3
Reescrevendo a equação:
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem com coeficiente
. A solução geral é
Como
kg, temos
Passo 4
A concentração na lagoa é
. Logo,
Passo 5
Para
, o termo exponencial vai a zero, então
que é justamente a concentração da água que entra.
Resposta
A concentração de poluentes na lagoa é
e seu limite quando
é