1,5pts Q1. Sejam A, B, C e D matrizes n \times n, com A e B invertíveis. Resolva para X a equação matricial
A B(X-C) B^{-1} A^{-1}=D

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
A B (X - C) B^{-1} A^{-1} = D
com A,B,C,D matrizes n\times n e com A e B invertíveis. A pergunta é: resolver para X, ou seja, isolar X em termos de A,B,C,D. Informações relevantes: A e B têm inversas (isto será usado), e devemos tomar cuidado com a ordem das multiplicações (matrizes, em geral, não comutam).

Passo 2

Resumo das propriedades que vamos usar (explicadas de maneira prática):
  • Inversa: se uma matriz M é invertível, existe M^{-1} tal que
M M^{-1} = M^{-1} M = I,
onde I é a matriz identidade.
  • Inversa do produto: para matrizes invertíveis A e B valem
(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}.
Prova rápida e intuitiva: multiplique AB por B^{-1}A^{-1}:
(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A I A^{-1} = I,
e o outro lado funciona analogamente; portanto B^{-1}A^{-1} é a inversa de AB.
  • Associatividade: ao multiplicar três ou mais matrizes, a ordem de agrupamento não altera o resultado. Ex.: A(BC)=(AB)C. Isso nos permite reescrever produtos sem ambiguidade de parênteses.
  • Não comutatividade: em geral AB \neq BA. Por isso devemos preservar a ordem quando aplicamos inversas e multiplicações à esquerda ou à direita.

Passo 3

Primeiro objetivo: eliminar o fator AB que aparece à esquerda do parêntese (X-C). Como AB é invertível (produto de invertíveis), podemos multiplicar a equação à esquerda por (AB)^{-1} — isto é permitido e “cancela” AB. Multiplicando ambos os lados por (AB)^{-1} obtemos:
(AB)^{-1}\bigl(AB(X-C)B^{-1}A^{-1}\bigr)=(AB)^{-1}D.
Pelo fato de (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} e pela associatividade, o lado esquerdo simplifica para
(X-C)B^{-1}A^{-1}.
Portanto temos a equação intermediária
(X-C)B^{-1}A^{-1} = (AB)^{-1}D.
Posso também escrever o lado direito explicitamente como
(AB)^{-1}D = B^{-1}A^{-1}D.

Passo 4

Agora queremos eliminar o fator B^{-1}A^{-1} que aparece à direita de (X-C). Para isso multiplicamos a equação anterior à direita por AB. Justificativa: multiplicar à direita por AB cancela B^{-1}A^{-1} porque
B^{-1}A^{-1}AB = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1} I B = B^{-1}B = I.
Aplicando isso, multiplicando a equação por AB à direita, obtemos
\bigl((X-C)B^{-1}A^{-1}\bigr)AB = \bigl(B^{-1}A^{-1}D\bigr)AB.
No lado esquerdo, por associatividade e pelo cancelamento acima, ficamos com
X - C.
No lado direito temos
B^{-1}A^{-1}DAB.

Passo 5

Isolamos X somando C em ambos os lados:
X = C + B^{-1}A^{-1}DAB.
Essa é a solução explícita em termos de A,B,C,D. Observação importante: a ordem dos fatores B^{-1}A^{-1}DAB não pode ser alterada — se você trocar a ordem, em geral o resultado muda.

Passo 6

Verificação breve (para ficar mais seguro): substituindo X encontrado na expressão original,
X-C = B^{-1}A^{-1}DAB,
então
AB(X-C)B^{-1}A^{-1} = AB\bigl(B^{-1}A^{-1}DAB\bigr)B^{-1}A^{-1}.
Agrupando e simplificando por cancelamentos AB B^{-1}A^{-1}=I e AB B^{-1}A^{-1} nas devidas posições, o resultado final é D. Portanto a solução está correta.

Resposta

X = C + B^{-1}A^{-1}DAB

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