1,5pts Q1. Sejam
e
matrizes
, com
e
invertíveis. Resolva para
a equação matricial
Passo 1
O enunciado dá a equação matricial
com
matrizes
e com
e
invertíveis. A pergunta é: resolver para
, ou seja, isolar
em termos de
. Informações relevantes:
e
têm inversas (isto será usado), e devemos tomar cuidado com a ordem das multiplicações (matrizes, em geral, não comutam).
Passo 2
Resumo das propriedades que vamos usar (explicadas de maneira prática):
- Inversa: se uma matriz
é invertível, existe tal que
onde
é a matriz identidade.
- Inversa do produto: para matrizes invertíveis
e valem
Prova rápida e intuitiva: multiplique
por
:
e o outro lado funciona analogamente; portanto
é a inversa de
.
- Associatividade: ao multiplicar três ou mais matrizes, a ordem de agrupamento não altera o resultado. Ex.:
. Isso nos permite reescrever produtos sem ambiguidade de parênteses. - Não comutatividade: em geral
. Por isso devemos preservar a ordem quando aplicamos inversas e multiplicações à esquerda ou à direita.
Passo 3
Primeiro objetivo: eliminar o fator
que aparece à esquerda do parêntese
. Como
é invertível (produto de invertíveis), podemos multiplicar a equação à esquerda por
— isto é permitido e “cancela”
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Pelo fato de
e pela associatividade, o lado esquerdo simplifica para
Portanto temos a equação intermediária
Posso também escrever o lado direito explicitamente como
Passo 4
Agora queremos eliminar o fator
que aparece à direita de
. Para isso multiplicamos a equação anterior à direita por
. Justificativa: multiplicar à direita por
cancela
porque
Aplicando isso, multiplicando a equação por
à direita, obtemos
No lado esquerdo, por associatividade e pelo cancelamento acima, ficamos com
No lado direito temos
Passo 5
Isolamos
somando
em ambos os lados:
Essa é a solução explícita em termos de
. Observação importante: a ordem dos fatores
não pode ser alterada — se você trocar a ordem, em geral o resultado muda.
Passo 6
Verificação breve (para ficar mais seguro): substituindo
encontrado na expressão original,
então
Agrupando e simplificando por cancelamentos
e
nas devidas posições, o resultado final é
. Portanto a solução está correta.