Considere os seguintes vetores de \mathbb{R}^{3} :
\mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -1 \\\\ -2 \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{3}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ -7 \\\ a^{2}-1 \end{array}\right], \quad \mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} -3 \\\\ 2 \\\ a+3 \end{array}\right] .
Determine o(\mathrm{~s}) valor(es) de a tal(is) que
(a) o sistema linear x_{1} \mathbf{u}_{1}+x_{2} \mathbf{u}_{2}+x_{3} \mathbf{u}_{3}=\mathbf{y} tenha uma única solução.
(b) o sistema linear x_{1} \mathbf{u}_{1}+x_{2} \mathbf{u}_{2}+x_{3} \mathbf{u}_{3}=\mathbf{y} n a ̃ o tenha solução alguma.
(c) o sistema linear x_{1} \mathbf{u}_{1}+x_{2} \mathbf{u}_{2}+x_{3} \mathbf{u}_{3}=\mathbf{y} tenha uma infinidade de soluções.
Em cada item, justifique sua resposta em termos das posições-pivô de certa matriz. Indique claramente a matriz pertinente a cada item.

Passo 1

O enunciado dá os vetores de \mathbb{R}^{3}
\mathbf{u}_{1}=\begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ 2\end{bmatrix},\quad \mathbf{u}_{2}=\begin{bmatrix}3\\\ -1\\\ -2\end{bmatrix},\quad \mathbf{u}_{3}=\begin{bmatrix}2\\\ -7\a^{2}-1\end{bmatrix},\quad \mathbf{y}=\begin{bmatrix}-3\\\ 2\a+3\end{bmatrix}.
As perguntas são:
(a) Para quais valores de a o sistema x_{1}\mathbf{u}_{1}+x_{2}\mathbf{u}_{2}+x_{3}\mathbf{u}_{3}=\mathbf{y} tem única solução?
(b) Para quais valores de a o sistema não tem solução alguma?
(c) Para quais valores de a o sistema tem infinitas soluções?
Informações relevantes que vamos usar: a matriz de coeficientes obtida colocando \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} como colunas, e a matriz ampliada obtida juntando \mathbf{y} como coluna extra. A posição de pivôs nessas matrizes (número de pivôs) decide existência/uniquidade: se a matriz de coeficientes tem 3 pivôs (posto 3) há solução única; se posto da matriz de coeficientes é menor que o posto da matriz ampliada então não há solução; se posto da matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada e menor que 3 então existem infinitas soluções.

Passo 2

Escrevo a matriz de coeficientes A e a matriz ampliada [A|\mathbf{y}]:
A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] -1 & -1 & -7\\[4pt] 2 & -2 & a^{2}-1 \end{bmatrix}, \qquad [A|\mathbf{y}]= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & -3\\[4pt] -1 & -1 & -7 & 2\\[4pt] 2 & -2 & a^{2}-1 & a+3 \end{bmatrix}.
Vou primeiro verificar quando A é invertível (ou seja, quando tem 3 pivôs). Para isso calculo \det(A).]

Passo 3

Cálculo do determinante de A por desenvolvimento pela primeira linha (mostro cada subdeterminante):
\det(A)=1\cdot\det\begin{bmatrix}-1 & -7\\[4pt]-2 & a^{2}-1\end{bmatrix} -3\cdot\det\begin{bmatrix}-1 & -7\\[4pt]2 & a^{2}-1\end{bmatrix} +2\cdot\det\begin{bmatrix}-1 & -1\\[4pt]2 & -2\end{bmatrix}.
Agora computo cada det:
\det\begin{bmatrix}-1 & -7\\[4pt]-2 & a^{2}-1\end{bmatrix} =(-1)(a^{2}-1)-(-7)(-2)=-a^{2}+1-14=-a^{2}-13,
\det\begin{bmatrix}-1 & -7\\[4pt]2 & a^{2}-1\end{bmatrix} =(-1)(a^{2}-1)-(-7)(2)=-a^{2}+1+14=-a^{2}+15,
\det\begin{bmatrix}-1 & -1\\[4pt]2 & -2\end{bmatrix} =(-1)(-2)-(-1)(2)=2-(-2)=4.
Substituindo em \det(A):
\det(A)=1\cdot(-a^{2}-13)-3\cdot(-a^{2}+15)+2\cdot 4 = -a^{2}-13 +3a^{2}-45 +8 = 2a^{2}-50.
Factorizando:
\det(A)=2(a^{2}-25)=2(a-5)(a+5).]

Passo 4

Interpreto o resultado do determinante:
  • Se \det(A)\neq 0 então A tem 3 pivôs (posto 3) e o sistema tem solução única.
  • Se \det(A)=0 então A é singular (posto \le 2) e precisamos comparar os pivôs da matriz ampliada para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções.
Da expressão \det(A)=2(a-5)(a+5) concluímos que \det(A)\neq 0 para todo a exceto a=5 e a=-5. Portanto:
  • Para a\neq \pm 5: A tem 3 pivôs e o sistema tem solução única. (Isto responde o item (a).)
Agora precisamos analisar os dois casos singulares a=5 e a=-5 para responder (b) e (c). Observação: quando a=5 e quando a=-5 a parte a^{2}-1 vale 25-1=24, então a matriz de coeficientes A é a mesma nos dois casos; a diferença está em \mathbf{y} cuja terceira componente é a+3 (que vale 8 se a=5 e -2 se a=-5).

Passo 5

Considero a matriz ampliada nos casos singulares; como a^{2}-1=24 escrevo:
[A|\mathbf{y}]= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & -3\\[4pt] -1 & -1 & -7 & 2\\[4pt] 2 & -2 & 24 & a+3 \end{bmatrix},
e faço eliminação de Gauss para ver as posições de pivô e a consistência (mostro operações elementares claras).
  1. R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}:
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -5 & -1\\[4pt] 2 & -2 & 24 & a+3 \end{bmatrix}.
  1. R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}:
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -5 & -1\\[4pt] 0 & -8 & 20 & a+3+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -5 & -1\\[4pt] 0 & -8 & 20 & a+9 \end{bmatrix}.
  1. R_{3}\leftarrow R_{3}+4R_{2} (porque -8+4\cdot 2=0):
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -5 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & (a+9)+4(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -5 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & a+5 \end{bmatrix}.
Observe que a entrada da direita na última linha ficou a+5. Isto é consequência direta das operações acima.]

Passo 6

Interpretação das posições-pivô e consistência a partir da forma escalonada obtida:
  • Nas primeiras duas linhas temos pivôs nas colunas 1 e 2 (portanto o posto de A é 2 quando a=\pm 5). A terceira linha da matriz de coeficientes é nula, ou seja, não existe pivô na coluna 3.
  • A consistência depende do elemento à direita na última linha da matriz ampliada:
    • Se a+5\neq 0 então a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ a+5] com a+5\neq 0, o que representa a equação 0= a+5 impossível. Logo o sistema é inconsistente (sem solução).
    • Se a+5=0 então a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0] e não acrescenta restrição; temos posto da matriz de coeficientes igual ao posto da matriz ampliada (ambos 2) e há uma variável livre (porque 2 pivôs para 3 incógnitas), ou seja, infinitas soluções.
Agora aplico isso aos valores concretos:
  • Para a=5 temos a+5=10\neq 0. Portanto última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 10] — inconsistente — não há solução.
  • Para a=-5 temos a+5=0. Portanto última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0] — consistente — posto =2<3 e, portanto, infinitas soluções.

Passo 7

Para ficar bem didático, mostro a forma de solução quando a=-5 (caso de infinitas soluções). Com a=-5 a forma escalonada é
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -5 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.
Das equações correspondentes:
2x_{2}-5x_{3}=-1,\qquad x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=-3.
Tomando x_{3}=t (parâmetro livre), obtemos
x_{2}=\frac{5t-1}{2},\qquad x_{1}=-3-3x_{2}-2t = -3-3\cdot\frac{5t-1}{2}-2t.
Isso demonstra explicitamente a família infinita de soluções parametrizada por t. O importante para o enunciado é que existem infinitas soluções quando a=-5.]

Resposta

(a) a\neq \pm 5
(b) a=5
(c) a=-5

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