Determine o(\mathrm{~s}) valor(es) de a tal(is) que
(a) o sistema linear x_{1} \mathbf{u}_{1}+x_{2} \mathbf{u}_{2}+x_{3} \mathbf{u}_{3}=\mathbf{y} tenha uma única solução.
(b) o sistema linear x_{1} \mathbf{u}_{1}+x_{2} \mathbf{u}_{2}+x_{3} \mathbf{u}_{3}=\mathbf{y} n a ̃ o tenha solução alguma.
(c) o sistema linear x_{1} \mathbf{u}_{1}+x_{2} \mathbf{u}_{2}+x_{3} \mathbf{u}_{3}=\mathbf{y} tenha uma infinidade de soluções.
Em cada item, justifique sua resposta em termos das posições-pivô de certa matriz. Indique claramente a matriz pertinente a cada item.
As perguntas são:
(a) Para quais valores de a o sistema x_{1}\mathbf{u}_{1}+x_{2}\mathbf{u}_{2}+x_{3}\mathbf{u}_{3}=\mathbf{y} tem única solução?
(b) Para quais valores de a o sistema não tem solução alguma?
(c) Para quais valores de a o sistema tem infinitas soluções?
Informações relevantes que vamos usar: a matriz de coeficientes obtida colocando \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3} como colunas, e a matriz ampliada obtida juntando \mathbf{y} como coluna extra. A posição de pivôs nessas matrizes (número de pivôs) decide existência/uniquidade: se a matriz de coeficientes tem 3 pivôs (posto 3) há solução única; se posto da matriz de coeficientes é menor que o posto da matriz ampliada então não há solução; se posto da matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada e menor que 3 então existem infinitas soluções.
Passo 2
Escrevo a matriz de coeficientes A e a matriz ampliada [A|\mathbf{y}]:
Se \det(A)\neq 0 então A tem 3 pivôs (posto 3) e o sistema tem solução única.
Se \det(A)=0 então A é singular (posto \le 2) e precisamos comparar os pivôs da matriz ampliada para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções.
Da expressão \det(A)=2(a-5)(a+5) concluímos que \det(A)\neq 0 para todo a exceto a=5 e a=-5. Portanto:
Para a\neq \pm 5: A tem 3 pivôs e o sistema tem solução única. (Isto responde o item (a).)
Agora precisamos analisar os dois casos singulares a=5 e a=-5 para responder (b) e (c). Observação: quando a=5 e quando a=-5 a parte a^{2}-1 vale 25-1=24, então a matriz de coeficientes A é a mesma nos dois casos; a diferença está em \mathbf{y} cuja terceira componente é a+3 (que vale 8 se a=5 e -2 se a=-5).
Passo 5
Considero a matriz ampliada nos casos singulares; como a^{2}-1=24 escrevo:
Observe que a entrada da direita na última linha ficou a+5. Isto é consequência direta das operações acima.]
Passo 6
Interpretação das posições-pivô e consistência a partir da forma escalonada obtida:
Nas primeiras duas linhas temos pivôs nas colunas 1 e 2 (portanto o posto de A é 2 quando a=\pm 5). A terceira linha da matriz de coeficientes é nula, ou seja, não existe pivô na coluna 3.
A consistência depende do elemento à direita na última linha da matriz ampliada:
Se a+5\neq 0 então a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ a+5] com a+5\neq 0, o que representa a equação 0= a+5 impossível. Logo o sistema é inconsistente (sem solução).
Se a+5=0 então a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0] e não acrescenta restrição; temos posto da matriz de coeficientes igual ao posto da matriz ampliada (ambos 2) e há uma variável livre (porque 2 pivôs para 3 incógnitas), ou seja, infinitas soluções.
Agora aplico isso aos valores concretos:
Para a=5 temos a+5=10\neq 0. Portanto última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 10] — inconsistente — não há solução.
Para a=-5 temos a+5=0. Portanto última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0] — consistente — posto =2<3 e, portanto, infinitas soluções.
Passo 7
Para ficar bem didático, mostro a forma de solução quando a=-5 (caso de infinitas soluções). Com a=-5 a forma escalonada é
Isso demonstra explicitamente a família infinita de soluções parametrizada por t. O importante para o enunciado é que existem infinitas soluções quando a=-5.]