Questão 4:( 6 tps ) Dado o conjunto de vetores B=\{(1,1,1),(-1,1,1),(0,1,-2)\}.
a) ( 3 pts) Prove que B é uma base de \mathbf{R}^{3}
b) (3 pts) Quais as coordenadas de v=(1,1,0) em relação a base B.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de vetores B=\{(1,1,1),(-1,1,1),(0,1,-2)\} e pede duas coisas:
a) Provar que B é uma base de \mathbf{R}^{3}.
b) Determinar as coordenadas de v=(1,1,0) em relação à base B.
Informações relevantes fornecidas:
Os três vetores de B são (1,1,1), (-1,1,1) e (0,1,-2).
O vetor v cujo sistema de coordenadas queremos é (1,1,0).
Passo 2
Antes de começar a resolver, vamos revisar de forma bem prática e simples o que precisamos mostrar.
Definição de base (passo a passo):
Uma família de vetores é uma base de \mathbf{R}^{3} se dois requisitos são satisfeitos: (i) os vetores são linearmente independentes; e (ii) geram (espalham) \mathbf{R}^{3}.
Um fato muito útil e prático: em \mathbf{R}^{3}, qualquer conjunto de exatamente três vetores que seja linearmente independente já é uma base (porque então necessariamente gera \mathbf{R}^{3}). Isso evita ter que checar geração separadamente quando já temos três vetores.
O que é linear independência (explicado sem mistério):
Vetores u_1,u_2,u_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha u_1 + \beta u_2 + \gamma u_3 = (0,0,0)
é \alpha=\beta=\gamma=0.
Para testar isso, montamos o sistema das componentes e resolvemos. Se só existir a solução trivial, são independentes.
O que são coordenadas em relação a uma base:
Para achar as coordenadas de v em relação à base B, procuramos escalares x,y,z tais que
x(1,1,1) + y(-1,1,1) + z(0,1,-2) = (1,1,0).
Resolvendo esse sistema obtemos os coeficientes (x,y,z), que são exatamente as coordenadas de v na base B.
Passo 3
Testando linear independência dos vetores de B. Escrevemos a combinação linear homogênea
Com \beta=0 vem \alpha=\beta=0 e \gamma=\beta=0. Assim a única solução é a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0.
Conclusão desta etapa: os três vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Concluir que B é uma base de \mathbf{R}^{3}.
Explicação curta e intuitiva: já mostramos que os três vetores de B são linearmente independentes. Em \mathbf{R}^{3}, qualquer conjunto com exatamente três vetores linearmente independentes tem dimensão 3 e, por isso, gera todo \mathbf{R}^{3}. Portanto B gera \mathbf{R}^{3} e é uma base.
Passo 6
Agora vamos achar as coordenadas de v=(1,1,0) na base B. Procuramos x,y,z tais que
x(1,1,1) + y(-1,1,1) + z(0,1,-2) = (1,1,0).
Escrevendo por componentes obtemos o sistema
\begin{cases} x - y = 1,\\[4pt] x + y + z = 1,\\[4pt] x + y - 2z = 0. \end{cases}]
Passo 7
Resolver o sistema para x,y,z passo a passo por substituição (método simples e prático em prova).
Da primeira equação temos
x = 1 + y.
Substituímos em segunda e terceira equações.
Segunda: substituindo x dá
(1+y) + y + z = 1 \Rightarrow 1 + 2y + z = 1 \Rightarrow 2y + z = 0 \Rightarrow z = -2y.
Terceira: substituindo x e usando z em função de y,
z = -2y = -2\left(-\tfrac{1}{6}\right) = \tfrac{1}{3},
e
x = 1 + y = 1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}.
Verificação rápida (importante em prova):
Primeira componente: x - y = \tfrac{5}{6} - (-\tfrac{1}{6}) = 1.
Segunda: x + y + z = \tfrac{5}{6} - \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{3} = 1.
Terceira: x + y - 2z = \tfrac{5}{6} - \tfrac{1}{6} - 2\cdot\tfrac{1}{3} = 0. Tudo confere.
Passo 8
Interpretação final: os coeficientes (x,y,z) = \left(\tfrac{5}{6}, -\tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3}\right) são exatamente as coordenadas do vetor v na base B. Ou seja, escrevemos
v = \tfrac{5}{6}(1,1,1) + \left(-\tfrac{1}{6}\right)(-1,1,1) + \tfrac{1}{3}(0,1,-2).
Resposta
a) B é base de \mathbf{R}^{3}.\n
b) As coordenadas de v em relação a B são \left(\tfrac{5}{6}, -\tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3}\right).