Questão 4:( 6 tps ) Dado o conjunto de vetores B=\{(1,1,1),(-1,1,1),(0,1,-2)\}.
a) ( 3 pts) Prove que B é uma base de \mathbf{R}^{3}
b) (3 pts) Quais as coordenadas de v=(1,1,0) em relação a base B.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores B=\{(1,1,1),(-1,1,1),(0,1,-2)\} e pede duas coisas:
a) Provar que B é uma base de \mathbf{R}^{3}.
b) Determinar as coordenadas de v=(1,1,0) em relação à base B.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os três vetores de B são (1,1,1), (-1,1,1) e (0,1,-2).
  • O vetor v cujo sistema de coordenadas queremos é (1,1,0).

Passo 2

Antes de começar a resolver, vamos revisar de forma bem prática e simples o que precisamos mostrar.
Definição de base (passo a passo):
  • Uma família de vetores é uma base de \mathbf{R}^{3} se dois requisitos são satisfeitos: (i) os vetores são linearmente independentes; e (ii) geram (espalham) \mathbf{R}^{3}.
  • Um fato muito útil e prático: em \mathbf{R}^{3}, qualquer conjunto de exatamente três vetores que seja linearmente independente já é uma base (porque então necessariamente gera \mathbf{R}^{3}). Isso evita ter que checar geração separadamente quando já temos três vetores.
O que é linear independência (explicado sem mistério):
  • Vetores u_1,u_2,u_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha u_1 + \beta u_2 + \gamma u_3 = (0,0,0)
é \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Para testar isso, montamos o sistema das componentes e resolvemos. Se só existir a solução trivial, são independentes.
O que são coordenadas em relação a uma base:
  • Para achar as coordenadas de v em relação à base B, procuramos escalares x,y,z tais que
x(1,1,1) + y(-1,1,1) + z(0,1,-2) = (1,1,0).
  • Resolvendo esse sistema obtemos os coeficientes (x,y,z), que são exatamente as coordenadas de v na base B.

Passo 3

Testando linear independência dos vetores de B. Escrevemos a combinação linear homogênea
\alpha(1,1,1) + \beta(-1,1,1) + \gamma(0,1,-2) = (0,0,0).
Escrevendo por componentes obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha - \beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] \alpha + \beta + \gamma = 0,\\[4pt] \alpha + \beta - 2\gamma = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema da combinação homogênea passo a passo.
Da primeira equação temos
\alpha = \beta.
Substituindo \alpha=\beta nas segunda e terceira equações obtemos:
segunda: \beta + \beta + \gamma = 0 \Rightarrow 2\beta + \gamma = 0.
terceira: \beta + \beta - 2\gamma = 0 \Rightarrow 2\beta - 2\gamma = 0 \Rightarrow \beta - \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = \beta.
Agora usamos \gamma=\beta em 2\beta+\gamma=0:
2\beta + \beta = 0 \Rightarrow 3\beta = 0 \Rightarrow \beta = 0.
Com \beta=0 vem \alpha=\beta=0 e \gamma=\beta=0. Assim a única solução é a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0.
Conclusão desta etapa: os três vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Concluir que B é uma base de \mathbf{R}^{3}.
Explicação curta e intuitiva: já mostramos que os três vetores de B são linearmente independentes. Em \mathbf{R}^{3}, qualquer conjunto com exatamente três vetores linearmente independentes tem dimensão 3 e, por isso, gera todo \mathbf{R}^{3}. Portanto B gera \mathbf{R}^{3} e é uma base.

Passo 6

Agora vamos achar as coordenadas de v=(1,1,0) na base B. Procuramos x,y,z tais que
x(1,1,1) + y(-1,1,1) + z(0,1,-2) = (1,1,0).
Escrevendo por componentes obtemos o sistema
\begin{cases} x - y = 1,\\[4pt] x + y + z = 1,\\[4pt] x + y - 2z = 0. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para x,y,z passo a passo por substituição (método simples e prático em prova).
Da primeira equação temos
x = 1 + y.
Substituímos em segunda e terceira equações.
Segunda: substituindo x
(1+y) + y + z = 1 \Rightarrow 1 + 2y + z = 1 \Rightarrow 2y + z = 0 \Rightarrow z = -2y.
Terceira: substituindo x e usando z em função de y,
(1+y) + y - 2z = 0 \Rightarrow 1 + 2y - 2z = 0.
Agora substituímos z = -2y:
1 + 2y - 2(-2y) = 1 + 2y + 4y = 1 + 6y = 0 \Rightarrow 6y = -1 \Rightarrow y = -\tfrac{1}{6}.
Com y = -\tfrac{1}{6} obtemos
z = -2y = -2\left(-\tfrac{1}{6}\right) = \tfrac{1}{3},
e
x = 1 + y = 1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}.
Verificação rápida (importante em prova):
Primeira componente: x - y = \tfrac{5}{6} - (-\tfrac{1}{6}) = 1.
Segunda: x + y + z = \tfrac{5}{6} - \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{3} = 1.
Terceira: x + y - 2z = \tfrac{5}{6} - \tfrac{1}{6} - 2\cdot\tfrac{1}{3} = 0. Tudo confere.

Passo 8

Interpretação final: os coeficientes (x,y,z) = \left(\tfrac{5}{6}, -\tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3}\right) são exatamente as coordenadas do vetor v na base B. Ou seja, escrevemos
v = \tfrac{5}{6}(1,1,1) + \left(-\tfrac{1}{6}\right)(-1,1,1) + \tfrac{1}{3}(0,1,-2).

Resposta

a) B é base de \mathbf{R}^{3}.\n
b) As coordenadas de v em relação a B são \left(\tfrac{5}{6}, -\tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3}\right).

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