(1.5pts) Seja W e U subconjuntos de R^3 tais que
W=(a, b, c) in R^3 mid a+b+c=0 e U=(a, b, c) in R^3 mid a >= 0
Verifique se W e U são subespaços vetoriais do R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se W e U são subespaços vetoriais de R^3. Lembrando que um subconjunto SsubseteqR^3 é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
  1. O vetor zero (0,0,0) pertence a S.
  2. S é fechado sob soma: se v,win S então v+win S.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: se vin S e alphainR então alpha vin S.

Passo 2

Verificação para W=(a,b,c)inR^3mid a+b+c=0.
  1. O vetor zero é (0,0,0) e satisfaz 0+0+0=0, logo (0,0,0)in W.
  2. Se (a1,b1,c1) e (a2,b2,c2) estão em W, temos
a1+b1+c1=0 e a2+b2+c2=0
Então
(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2) =(a1+b1+c1)+(a2+b2+c2) =0+0=0,
logo (a1+a2,b1+b2,c1+c2)in W.
3. Para alphainR e (a,b,c)in W com a+b+c=0, vale
alpha a + alpha b + alpha c =alpha,(a+b+c) =alphacdot 0 =0,
portanto (alpha a,alpha b,alpha c)in W.
Como as três propriedades valem, W é subespaço de R^3.

Passo 3

Verificação para U=(a,b,c)inR^3mid a>= 0.
  1. O vetor zero tem primeira coordenada 0, e 0>=0, então (0,0,0)in U.
  2. Para fechar sob soma, observe que se (a1,b1,c1) e (a2,b2,c2) têm a1>=0 e a2>=0, então a1+a2>=0 e a soma fica em U.
  3. Mas a falha está na multiplicação escalar: pegue por exemplo (a,b,c)=(1,0,0)in U e escalar alpha=-1. Então
alpha(a,b,c)=(-1),(1,0,0)=(-1,0,0)
tem primeira coordenada -1<0, logo (-1,0,0)notin U.
Portanto U não é fechado sob multiplicação escalar e não é subespaço.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^3 e U não é subespaço vetorial de R^3.

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