(1.5pts) Seja
e
subconjuntos de
tais que
Verifique se
e
são subespaços vetoriais do
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
e
são subespaços vetoriais de
. Lembrando que um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
- O vetor zero
pertence a . -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Passo 2
Verificação para
.
- O vetor zero é
e satisfaz , logo . - Se
e estão em , temos
Então
logo
.
3. Para e
com
, vale
3. Para
portanto
.
Como as três propriedades valem, é subespaço de
.
Como as três propriedades valem,
Passo 3
Verificação para
.
- O vetor zero tem primeira coordenada
, e , então . - Para fechar sob soma, observe que se
e têm e , então e a soma fica em . - Mas a falha está na multiplicação escalar: pegue por exemplo
e escalar . Então
tem primeira coordenada
, logo
.
Portanto não é fechado sob multiplicação escalar e não é subespaço.
Portanto