Seja V=M3 times 1(R) e W=X in V: A X=0 onde
A=[ccc 1 & 0 & -1 1 & 3 & 0 2 & 3 & -1 ]
a) Determine uma base de W.
b) Determine a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M3times1(R)congR^3 e o subespaço
W=Xin V:AX=0,
ou seja, W é o núcleo (nullspace) da transformação linear dada pela matriz
A= 1 & 0 & -1 1 & 3 & 0 2 & 3 & -1
Para encontrar uma base e a dimensão de W, vamos resolver o sistema homogêneo AX=0 por eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada [Amid0] e aplicamos operações de linha:
[ccc|c 1 & 0 & -1 & 0 1 & 3 & 0 & 0 2 & 3 & -1 & 0 ] ;longrightarrow; [ccc|c 1 & 0 & -1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 2 & 3 & -1 & 0 ] ;longrightarrow; [ccc|c 1 & 0 & -1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 ] ;longrightarrow; [ccc|c 1 & 0 & -1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Da forma escalonada obtemos as equações:
Escolhemos como parâmetro livre. Da segunda equação segue
e da primeira
Logo a solução geral é

Passo 4

Como toda solução de AX=0 é múltiplo de l(-3,1,-3r)^T, uma base de W é
-31-3
O número de vetores na base é 1, ou seja,
dim W = 1

Resposta

a) Uma base de W é
-31-3
b) dim W = 1.

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