Justifique todas as suas afirmações.
As coordenadas dos vetores e dos pontos que aparecem nos exercícios a seguir são suas coordenadas com relação a um sistema de coordenadas ortonormal positivo.
Encontre equações vetorial, paramétricas e geral do plano pi que
contém os pontos A=(1,2,3), B=(1,3,2) e C=(3,2,1);

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que passa pelos pontos A=(1,2,3), B=(1,3,2) e C=(3,2,1). O conteúdo envolve:
  1. Determinar dois vetores diretores no plano, por exemplo AB e AC.
  2. Usar esses vetores para montar a equação vetorial e, a partir dela, as equações paramétricas.
  3. Calcular o vetor normal ao plano como n = ABtimesAC e, então, obter a equação geral do plano.

Passo 2

Calculemos os vetores diretores:
AB = B - A = (1-1,;3-2,;2-3) = (0,,1,,-1),
AC = C - A = (3-1,;2-2,;1-3) = (2,,0,,-2)
Esses vetores estão no plano e são, em geral, linearmente independentes.

Passo 3

A equação vetorial do plano, tomando A como ponto de passagem e s,t como parâmetros, é
vec r = OA + s,AB + t,AC,
ou seja, em forma explícita,
vec r = (1,2,3) + s,(0,1,-1) + t,(2,0,-2)

Passo 4

Da equação vetorial extraímos as equações paramétricas:
x = 1 + 0cdot s + 2cdot t = 1 + 2t, y = 2 + 1cdot s + 0cdot t = 2 + s, z = 3 - 1cdot s - 2cdot t = 3 - s - 2t

Passo 5

Para a equação geral precisamos do vetor normal n.
n = ABtimesAC = i & j & k 0 & 1 & -1 2 & 0 & -2 = (-2,,-2,,-2)
Podemos simplificar n dividindo por -2 e usar n=(1,1,1).

Passo 6

A equação geral do plano, usando ncdot(vec r - OA)=0, fica
(1,1,1)cdotl((x,y,z)-(1,2,3)r)=0 Longrightarrow (x-1)+(y-2)+(z-3)=0,
ou seja
x + y + z - 6 = 0

Resposta

Equação vetorial:
vec r = (1,2,3) + s,(0,1,-1) + t,(2,0,-2)
Equações paramétricas:
x = 1 + 2t, y = 2 + s, z = 3 - s - 2t
Equação geral:
x + y + z - 6 = 0

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