Sejam U e W subespaços de F(R ; R) de dimensão 4. Sabendo que U cap W=SPAN1, cos (x), cos (2 x), determine a dimensão de U + W

Passo 1

O enunciado dá subespaços U e W de F(R;R) com dim U = dim W = 4 e informa que
U cap W = SPAN1,cos(x),cos(2x)
Queremos calcular dim(U+W) usando a fórmula de Grassmann para soma de subespaços.

Passo 2

Para usar a fórmula precisamos de dim(Ucap W). As funções 1, cos(x) e cos(2x) são linearmente independentes em F(R;R). Logo,
dim(Ucap W) = 3

Passo 3

Aplicando a fórmula de Grassmann:
dim(U+W) ;=;dim U + dim W - dim(Ucap W) ;=;4 + 4 - 3 ;=;5

Resposta

dim(U+W)=5

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