8.5R Calcule a área de uma esfera de raio R. (resp. 4 pi R^2 )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área de superfície de uma esfera de raio R. Vamos usar o método de parametrização em coordenadas esféricas, que permite expressar o elemento de área em termos dos ângulos theta (colatitude) e varphi (longitude).

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio R por
r(theta,varphi)=l(Rsinthetacosvarphi,;Rsinthetasinvarphi,;Rcosthetar),
com thetain[0,pi] e varphiin[0,2pi]. O elemento de área é dado por
dA = llvert partialthetartimespartialvarphirrrvert,dtheta,dvarphi
e, ao calcular o produto vetorial, obtém-se
llvert partialthetartimespartialvarphirrrvert = R^2sintheta

Passo 3

Montamos a integral dupla para a área total A:
A = integral0^2piintegral0^pi R^2sintheta ,dtheta,dvarphi

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em theta:
integral0^pisintheta,dtheta = l[-costhetar]0^pi = 2
Depois a integral em varphi:
integral0^2pidvarphi = 2pi
Multiplicando tudo:
A = R^2 times 2 times 2pi = 4pi R^2

Resposta

4pi R^2

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