Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento L=2, que obedece à equação:
9 ux x=ut t
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I) u(x, 0)=0
(II) u(x, 0)=sen(pi x2)
(III) u(x, 0)=x
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A) ut(x, 0)=0
(B) ut(x, 0)=-sen(3 pi x2)
(C) ut(x, 0)=1
Determine a solução u(x, t) do problema para:
Condições Iniciais I e A

Passo 1

O problema é o da corda vibrando sob a equação
9,uxx = utt
em 0<= x<= 2, com condições de contorno fixas
u(0,t)=0, u(2,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=0,
ut(x,0)=0
Vamos usar o método de separação de variáveis e série de Fourier para ondas numa corda fixa.

Passo 2

Procuramos a solução na forma de série em modos normais:
u(x,t) =sumn=1^inftyl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)sin!l(tfracnpi x2r),
onde L=2 e a velocidade de propagação é c=3, de modo que
omegan = npi cL = 3npi2

Passo 3

Impondo a condição inicial de deslocamento u(x,0)=0 obtemos
u(x,0) =sumn=1^inftyAnsin!l(tfracnpi x2r)=0
Como as funções sin(tfracnpi x2) são ortogonais, isso implica
An=0para todo n

Passo 4

Impondo a condição inicial de velocidade ut(x,0)=0 obtemos
ut(x,0) =sumn=1^inftyBn,omegansin!l(tfracnpi x2r)=0
Pela mesma ortogonalidade, temos
Bn,omegan=0 Longrightarrow Bn=0para todo n

Passo 5

Com An=0 e Bn=0 para todo n, a série inteira zera, de modo que
u(x,t)equiv 0

Resposta

u(x,t)=0

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