Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento
, que obedece à equação:
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I)
(II)
(III)
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A)
(B)
(C)
Determine a solução
do problema para:
Condições Iniciais I e A
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
(C)
Condições Iniciais I e A
Passo 1
O problema é o da corda vibrando sob a equação
em
, com condições de contorno fixas
e condições iniciais
Vamos usar o método de separação de variáveis e série de Fourier para ondas numa corda fixa.
Passo 2
Procuramos a solução na forma de série em modos normais:
onde
e a velocidade de propagação é
, de modo que
Passo 3
Impondo a condição inicial de deslocamento
obtemos
Como as funções
são ortogonais, isso implica
Passo 4
Impondo a condição inicial de velocidade
obtemos
Pela mesma ortogonalidade, temos
Passo 5
Com
e
para todo
, a série inteira zera, de modo que