8.5T Calcule a área do cone gerado pela rotação do segmento de reta y=3 x+2,0 <= x <= 3, em torno do eixo x. (resp. 39 pi raiz10 )

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar o segmento de reta
y = 3x + 2, 0 <= x <= 3
em torno do eixo x. O conteúdo aqui é área de superfície de revolução, para a qual usamos a fórmula da área lateral:
A = 2pi integrala^b y ,ds,
onde ds = raiz1 + l(y'(x)r)^2,dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y'(x) = ddx(3x+2) = 3
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ds = raiz1 + 3^2,dx = raiz10,dx

Passo 3

Substituímos y e ds na fórmula de área:
A = 2pi integral0^3 y,raiz1+(y')^2,dx = 2pi integral0^3 (3x+2),raiz10,dx = 2piraiz10integral0^3(3x+2),dx

Passo 4

Calculamos a integral
integral0^3(3x+2),dx = l[tfrac32x^2 + 2xr]0^3 = tfrac32cdot 9 + 2cdot 3 = tfrac272 + 6 = tfrac27 + 122 = tfrac392

Passo 5

Substituindo de volta em A:
A = 2piraiz10,times 392 = 39piraiz10

Resposta

39piraiz10

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