Considere uma barra de comprimento igual a 2. A seguinte equação diferencial parcial representa a propagação de calor nessa barra:
Essa barra possui, inicialmente, a temperatura em todos os seus pontos igual a 10, sendo que as extremidades da barra possuem temperaturas fixadas em 20, para
, e em -20 , para
. A barra é mantida assim por varias horas, até entrar em equilíbrio térmico. Quando a barra atinge equilíbrio térmico nessas condições, suas extremidades são isoladas termicamente, sendo mantidas isoladas a partir desse instante. (Adote a convenção de que
no exato instante em que a barra recebe isolamento térmico em suas extremidades).
a) Determine a distribuição de temperaturas na barra em função de
, no instante imediatamente anterior à colocação do isolante térmico nas extremidades da barra.
b) Calcule a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra, em função de
e
, após a barra ter suas extremidades termicamente isoladas.
a) Determine a distribuição de temperaturas na barra em função de
b) Calcule a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra, em função de
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor unidimensional
na barra de comprimento
. Inicialmente as bordas estão em temperaturas fixas
,
,
e todo o interior a . Após longa espera atinge\‐se equilíbrio térmico e, no instante
, as extremidades passam a ser isoladas, isto é
e todo o interior a
com condição inicial dada pelo perfil de equilíbrio encontrado em (a).
Para (a) precisamos achar o estado estacionário da barra com bordas fixas; para (b) resolveremos o problema de valor inicial com condições de Neumann usando separação de variáveis e séries de cossenos.
Para (a) precisamos achar o estado estacionário da barra com bordas fixas; para (b) resolveremos o problema de valor inicial com condições de Neumann usando separação de variáveis e séries de cossenos.
Passo 2
Em equilíbrio térmico a temperatura não depende de
, logo
satisfaz
Integrando duas vezes,
Impondo
dá
e impondo
dá
Portanto
Passo 3
No instante
após o isolamento, a condição inicial é
e para
resolvemos
Usamos separação de variáveis, expandindo em modos de Neumann.
Passo 4
Os autovalores e autofunções para Neumann em
são
A solução geral é
Passo 5
O coeficiente constante é a média inicial:
Passo 6
Para
,
O termo com
anula\‐se pois
. Resta
e, por partes, chega\‐se a
Logo
Para
par temos
. Para
ímpar
Passo 7
Substituindo na série obtemos a solução para
:
Resposta
(a) Em equilíbrio térmico com extremidades fixas:
(b) Para
após isolamento, com condições de Neumann: