Considere uma barra de comprimento igual a 2. A seguinte equação diferencial parcial representa a propagação de calor nessa barra:
4 ux x=ut
Essa barra possui, inicialmente, a temperatura em todos os seus pontos igual a 10, sendo que as extremidades da barra possuem temperaturas fixadas em 20, para x=0, e em -20 , para x=2. A barra é mantida assim por varias horas, até entrar em equilíbrio térmico. Quando a barra atinge equilíbrio térmico nessas condições, suas extremidades são isoladas termicamente, sendo mantidas isoladas a partir desse instante. (Adote a convenção de que t=0 no exato instante em que a barra recebe isolamento térmico em suas extremidades).
a) Determine a distribuição de temperaturas na barra em função de x, no instante imediatamente anterior à colocação do isolante térmico nas extremidades da barra.
b) Calcule a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra, em função de x e t, após a barra ter suas extremidades termicamente isoladas.

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor unidimensional
4,uxx=ut
na barra de comprimento 2. Inicialmente as bordas estão em temperaturas fixas
,u(0,t)=20, ,u(2,t)=-20,
e todo o interior a 10. Após longa espera atinge\‐se equilíbrio térmico e, no instante t=0, as extremidades passam a ser isoladas, isto é
ux(0,t)=0, ux(2,t)=0, t>0,
com condição inicial dada pelo perfil de equilíbrio encontrado em (a).
Para (a) precisamos achar o estado estacionário da barra com bordas fixas; para (b) resolveremos o problema de valor inicial com condições de Neumann usando separação de variáveis e séries de cossenos.

Passo 2

Em equilíbrio térmico a temperatura não depende de t, logo u(x,t)=U(x) satisfaz
4,U''(x)=0;Longrightarrow;U''(x)=0
Integrando duas vezes,
U(x)=A,x+B
Impondo U(0)=20 B=20 e impondo U(2)=-20
2A+20=-20;Longrightarrow;A=-20
Portanto
U(x)=-20,x+20

Passo 3

No instante t=0 após o isolamento, a condição inicial é
u(x,0)=U(x)=-20,x+20,
e para t>0 resolvemos
4,uxx=ut, ux(0,t)=ux(2,t)=0
Usamos separação de variáveis, expandindo em modos de Neumann.

Passo 4

Os autovalores e autofunções para Neumann em [0,2] são
phin(x)=cos!l(tfracnpi x2r), lambdan=4l(tfracnpi2r)^2=n^2pi^2, n=0,1,2,dots
A solução geral é
u(x,t)=a0+sumn=1^infty ancos!l(tfracnpi x2r),e^-,n^2pi^2,t

Passo 5

O coeficiente constante é a média inicial:
a0=12integral0^2(-20x+20),dx =12l[-10x^2+20xr]0^2 =12( -40+40)=0

Passo 6

Para n>=1,
an=22integral0^2(-20x+20)cos!l(tfracnpi x2r),dx =integral0^2(-20x+20)cos!l(tfracnpi x2r),dx
O termo com +20 anula\‐se pois integral0^2cos(npi x/2)dx=0. Resta
-20integral0^2 xcos!l(tfracnpi x2r),dx
e, por partes, chega\‐se a
integral0^2xcos(kx),dx=(-1)^n-1k^2, k=tfracnpi2
Logo
an=-20;(-1)^n-1(npi/2)^2 =-;20;(-1)^n-1n^2pi^2/4 =-;80;(-1)^n-1n^2pi^2
Para n par temos (-1)^n-1=0 implies an=0. Para n ímpar (-1)^n-1=-2 implies
an=160n^2pi^2, n=2m-1

Passo 7

Substituindo na série obtemos a solução para t>0:
u(x,t) =summ=1^infty 160(2m-1)^2pi^2 cos!l(tfrac(2m-1)pi x2r) exp!l(-,(2m-1)^2pi^2,tr)

Resposta

(a) Em equilíbrio térmico com extremidades fixas:
u(x)=-20,x+20
(b) Para t>0 após isolamento, com condições de Neumann:
u(x,t) =summ=1^infty 160(2m-1)^2pi^2 cos!l((2m-1)pi x2r) e^-(2m-1)^2pi^2,t

Exercícios relacionados