5sa) Uma partícula move-se ao longo de uma reta. Sua função velocidade é:
Encontre as funções deslocamento e aceleração da partícula.
Passo 1
O enunciado dá a função velocidade
e pede duas coisas:
- a função deslocamento (ou posição) da partícula, isto é, a antiderivada de
; - a função aceleração da partícula, isto é, a derivada de
.
Informações relevantes: a velocidade está dada para uma variável temporal
. Não foi dada posição inicial, então a função deslocamento aparecerá com uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Decisão de método (sem complicar): para achar a posição
eu vou integrar
em relação a
. Para achar a aceleração
eu vou derivar
em relação a
.
Vou usar substituição para a integral (porque o denominador é uma função de e o numerador é proporcional a
) e a regra do quociente para a derivada (pois
é uma razão de duas funções de
).
Vou usar substituição para a integral (porque o denominador é uma função de
Passo 3
Começo encontrando a função deslocamento
. Escrevo a relação básica entre posição e velocidade:
Agora faço a substituição conveniente. Defino
Derivo
em relação a
:
Isolando
:
Passo 4
Usando a substituição na integral:
A integral de
é o logaritmo natural. Portanto
onde
é a constante de integração (é a posição inicial, se conhecida). Voltando à variável
(substituindo
de volta):
Observação didática: a presença do valor absoluto em
é formal; aqui
para todo
, então podemos omitir as barras e escrever
.
Passo 5
Pequeno reforço por exemplo (para fixar a técnica): a integral
usa a mesma ideia:
,
, daí
. Isso é análogo ao nosso caso, só que com uma constante diferente por causa do fator
no denominador.
Passo 6
Agora encontro a aceleração
como derivada de
:
Aplicarei a regra do quociente. Se
, a regra do quociente diz
Aqui escolho
e
. Então
Passo 7
Substituo na fórmula do quociente passo a passo:
Calculo o numerador explicitamente:
Portanto a aceleração fica
Passo 8
Verificação rápida (cheia de carinho): posso derivar
para ver se volto a
. Derivando
uso a regra da cadeia: a derivada de
é
. Assim
o que confirma que a integral foi feita corretamente. Você conseguiu!