5sa) Uma partícula move-se ao longo de uma reta. Sua função velocidade é:
v(t)=\frac{t}{4 t^{2}+9}
Encontre as funções deslocamento e aceleração da partícula.

Passo 1

O enunciado dá a função velocidade
v(t)=\frac{t}{4 t^{2}+9}
e pede duas coisas:
  1. a função deslocamento (ou posição) da partícula, isto é, a antiderivada de v(t);
  2. a função aceleração da partícula, isto é, a derivada de v(t).
Informações relevantes: a velocidade está dada para uma variável temporal t. Não foi dada posição inicial, então a função deslocamento aparecerá com uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Decisão de método (sem complicar): para achar a posição s(t) eu vou integrar v(t) em relação a t. Para achar a aceleração a(t) eu vou derivar v(t) em relação a t.
Vou usar substituição para a integral (porque o denominador é uma função de t^{2} e o numerador é proporcional a t) e a regra do quociente para a derivada (pois v(t) é uma razão de duas funções de t).

Passo 3

Começo encontrando a função deslocamento s(t). Escrevo a relação básica entre posição e velocidade:
s(t)=\int v(t)\,dt=\int \frac{t}{4 t^{2}+9}\,dt.
Agora faço a substituição conveniente. Defino
u=4 t^{2}+9.
Derivo u em relação a t:
\frac{du}{dt}=8t \quad\Rightarrow\quad du=8t\,dt.
Isolando t\,dt:
t\,dt=\frac{du}{8}.

Passo 4

Usando a substituição na integral:
\int \frac{t}{4 t^{2}+9}\,dt=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int \frac{du}{u}.
A integral de 1/u é o logaritmo natural. Portanto
\frac{1}{8}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{8}\ln|u|+C,
onde C é a constante de integração (é a posição inicial, se conhecida). Voltando à variável t (substituindo u de volta):
s(t)=\frac{1}{8}\ln\!\big(4 t^{2}+9\big)+C.
Observação didática: a presença do valor absoluto em \ln|u| é formal; aqui 4t^{2}+9>0 para todo t, então podemos omitir as barras e escrever \ln(4t^{2}+9).

Passo 5

Pequeno reforço por exemplo (para fixar a técnica): a integral
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx
usa a mesma ideia: u=x^{2}+1, du=2x\,dx, daí \int x/(x^{2}+1)\,dx=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C. Isso é análogo ao nosso caso, só que com uma constante diferente por causa do fator 4 no denominador.

Passo 6

Agora encontro a aceleração a(t) como derivada de v(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Aplicarei a regra do quociente. Se v(t)=\dfrac{f(t)}{g(t)}, a regra do quociente diz
\frac{d}{dt}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f' g - f g'}{g^{2}}.
Aqui escolho f(t)=t e g(t)=4t^{2}+9. Então
f'(t)=1,\qquad g'(t)=8t.

Passo 7

Substituo na fórmula do quociente passo a passo:
a(t)=\frac{1\cdot(4 t^{2}+9)-t\cdot(8t)}{\big(4 t^{2}+9\big)^{2}}.
Calculo o numerador explicitamente:
1\cdot(4 t^{2}+9)-t\cdot(8t)=4 t^{2}+9-8 t^{2}=9-4 t^{2}.
Portanto a aceleração fica
a(t)=\frac{9-4 t^{2}}{\big(4 t^{2}+9\big)^{2}}.

Passo 8

Verificação rápida (cheia de carinho): posso derivar s(t) para ver se volto a v(t). Derivando
s(t)=\frac{1}{8}\ln\!\big(4 t^{2}+9\big)+C
uso a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) é u'/u. Assim
s'(t)=\frac{1}{8}\cdot\frac{8t}{4 t^{2}+9}=\frac{t}{4 t^{2}+9}=v(t),
o que confirma que a integral foi feita corretamente. Você conseguiu!

Resposta

s(t)=\frac{1}{8}\ln\!\big(4 t^{2}+9\big)+C
a(t)=\frac{9-4 t^{2}}{\big(4 t^{2}+9\big)^{2}}

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