3^{\text {a }} Questão: Um aspecto importante na administração da água é a obtenção de dados confiáveis sobre o fluxo da corrente, que é o número de metros cúbicos que passam por uma seção transversa da corrente ou rio. O primeiro passo neste cálculo é a determinação da velocidade média a uma distância de x metros da margem do rio. Se k é a profundidade do rio em um ponto a x metros da margem \mathrm{e} \mathrm{v}(\mathrm{x}) é a velocidade ( \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} ) a uma profundidade de x metros e a expressão de \bar{v}_{x} é dada por:
\overline{v_{x}}=\frac{1}{k} \int v(x) d x
Sabe-se que \mathrm{v}(\mathrm{x})=x^{5} \sqrt{x^{3}+1} quando \mathrm{k}=1 / 4. Estime uma família de funções que representa \bar{v}_{x}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão da velocidade em função da distância à margem e pede uma família de funções para a velocidade média \overline{v_{x}}. Dados e pedido resumidos:
  • A fórmula dada para a velocidade média é
\overline{v_{x}}=\frac{1}{k}\int v(x)\,dx.
  • A função velocidade é \displaystyle v(x)=x^{5}\sqrt{x^{3}+1}.
  • A constante é k=\frac{1}{4}.
  • O que se pede: encontrar (estimar) uma família de funções que representa \overline{v_{x}}, ou seja, achar uma primitiva de v(x) e multiplicar por 1/k. Não foi pedido valor numérico específico, então devemos apresentar a antiderivada geral com a constante de integração.

Passo 2

Primeiro reescrevo o integrando de forma confortável para integrar:
v(x)=x^{5}\sqrt{x^{3}+1}=x^{5}(x^{3}+1)^{1/2}.
Logo precisamos calcular
\int x^{5}(x^{3}+1)^{1/2}\,dx
e depois multiplicar o resultado por \displaystyle\frac{1}{k}=4.

Passo 3

Vou usar uma substituição clássica para integrar expressões do tipo (x^{3}+1) com potências: tomo
u=x^{3}+1.
Derivando, obtenho
du=3x^{2}\,dx\quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\,du.
Como tenho x^{5}\,dx=x^{3}\cdot x^{2}\,dx, escrevo x^{3}=u-1. Assim
x^{5}\,dx=(u-1)\cdot\frac{1}{3}\,du=\frac{1}{3}(u-1)\,du.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int x^{5}(x^{3}+1)^{1/2}\,dx=\frac{1}{3}\int (u-1)u^{1/2}\,du.
Expando o integrando:
\frac{1}{3}\int (u^{3/2}-u^{1/2})\,du.

Passo 5

Agora aplico a regra da potência para integrais: para n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
\int u^{3/2}\,du=\frac{u^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}u^{5/2}, \qquad \int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Multiplicando pelo \frac{1}{3} que estava fora:
\frac{1}{3}\left(\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right)+C = \frac{2}{15}u^{5/2}-\frac{2}{9}u^{3/2}+C.

Passo 6

Volto para a variável x usando u=x^{3}+1:
\int x^{5}(x^{3}+1)^{1/2}\,dx=\frac{2}{15}(x^{3}+1)^{5/2}-\frac{2}{9}(x^{3}+1)^{3/2}+C.

Passo 7

Agora multiplico por \displaystyle\frac{1}{k}=4 para obter \overline{v_{x}}:
\overline{v_{x}}=4\left(\frac{2}{15}(x^{3}+1)^{5/2}-\frac{2}{9}(x^{3}+1)^{3/2}\right)+C.
Simplificando os coeficientes:
\overline{v_{x}}=\frac{8}{15}(x^{3}+1)^{5/2}-\frac{8}{9}(x^{3}+1)^{3/2}+C.

Passo 8

Opcional: posso factorizar um termo comum para deixar mais compacto. Fatorando (x^{3}+1)^{3/2} e o fator numérico:
\overline{v_{x}}=\frac{8}{45}(x^{3}+1)^{3/2}\bigl(3(x^{3}+1)-5\bigr)+C,
que é equivalente à expressão anterior.

Resposta

\overline{v_{x}}=\frac{8}{15}(x^{3}+1)^{5/2}-\frac{8}{9}(x^{3}+1)^{3/2}+C

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