3^{\text {a }} Questão: Um aspecto importante na administração da água é a obtenção de dados confiáveis sobre o fluxo da corrente, que é o número de metros cúbicos que passam por uma seção transversa da corrente ou rio. O primeiro passo neste cálculo é a determinação da velocidade média a uma distância de x metros da margem do rio. Se k é a profundidade do rio em um ponto a x metros da margem \mathrm{e} \mathrm{v}(\mathrm{x}) é a velocidade ( \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} ) a uma profundidade de x metros e a expressão de \bar{v}_{x} é dada por:
\overline{v_{x}}=\frac{1}{k} \int v(x) d x
Sabe-se que \mathrm{v}(\mathrm{x})=x^{5} \sqrt{x^{3}+1} quando \mathrm{k}=1 / 4. Estime uma família de funções que representa \bar{v}_{x}.
Passo 1
O enunciado dá a expressão da velocidade em função da distância à margem e pede uma família de funções para a velocidade média \overline{v_{x}}. Dados e pedido resumidos:
A fórmula dada para a velocidade média é
\overline{v_{x}}=\frac{1}{k}\int v(x)\,dx.
A função velocidade é \displaystyle v(x)=x^{5}\sqrt{x^{3}+1}.
A constante é k=\frac{1}{4}.
O que se pede: encontrar (estimar) uma família de funções que representa \overline{v_{x}}, ou seja, achar uma primitiva de v(x) e multiplicar por 1/k. Não foi pedido valor numérico específico, então devemos apresentar a antiderivada geral com a constante de integração.
Passo 2
Primeiro reescrevo o integrando de forma confortável para integrar:
v(x)=x^{5}\sqrt{x^{3}+1}=x^{5}(x^{3}+1)^{1/2}.
Logo precisamos calcular
\int x^{5}(x^{3}+1)^{1/2}\,dx
e depois multiplicar o resultado por \displaystyle\frac{1}{k}=4.
Passo 3
Vou usar uma substituição clássica para integrar expressões do tipo (x^{3}+1) com potências: tomo