\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão: Na região da Península Yucatán, no México, rodeado pelas águas do Caribe, está localizado o maior buraco azul do mundo: o Taam-já. Mesmo sem chegar ao ponto mais fundo, cientistas conseguiram medir mais de 420 metros de profundidade, o que equivale à altura de 11 Cristos Redentores um em cima do outro. Um drone conseguiu modelar uma função que expressa a área do buraco e é expressa por:
\text { 4183. } \int \frac{x^{3}-4 x^{2}-3 x+3}{x^{2}-3 x} d x \text {, }
Determine o cálculo da área, considerando a constante \mathrm{c}=0.

Passo 1

O enunciado fornece a integral indefinida
\int \frac{x^{3}-4x^{2}-3x+3}{x^{2}-3x}\,dx
e pede que eu determine o cálculo da área (isto é, encontre uma primitiva), considerando a constante de integração igual a \mathrm{c}=0.
Informações dadas:
\text{Integrando: }\quad \frac{x^{3}-4x^{2}-3x+3}{x^{2}-3x}.
\text{Constante de integração: }\quad \mathrm{c}=0.çã
O que se pede:
  • Calcular uma antiderivada da função dada e fornecer a expressão final com a constante igual a zero.

Passo 2

Primeiro passo prático: observar que o numerador tem grau 3 e o denominador tem grau 2. Nesses casos convém fazer divisão de polinômios para separar uma parte polinomial mais um quociente próprio (fração com numerador de grau menor que o denominador). Faço a divisão de
x^{3}-4x^{2}-3x+3
por
x^{2}-3x.
Realizando a divisão:
  • Termo principal: \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x. Multiplico x por x^{2}-3x e subtraio:
(x^{3}-4x^{2})-(x^{3}-3x^{2})=-x^{2}.
  • Desço o próximo termo -3x, ficando -x^{2}-3x.
  • Próximo quociente: \dfrac{-x^{2}}{x^{2}}=-1. Multiplico -1 por x^{2}-3x e subtraio:
(-x^{2}-3x)-(-x^{2}+3x)=-6x.
  • Desço o termo +3, ficando o resto -6x+3.
Portanto a divisão fornece:
\frac{x^{3}-4x^{2}-3x+3}{x^{2}-3x}=x-1+\frac{-6x+3}{x^{2}-3x}.

Passo 3

Escrevo a fração restante de forma que o denominador fique fatorado para facilitar decomposição em frações parciais:
x^{2}-3x = x(x-3).
Então a parte fracionária é
\frac{-6x+3}{x(x-3)}.

Passo 4

Faço a decomposição em frações parciais. Procuro constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{-6x+3}{x(x-3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}.
Multiplicando ambos os lados por x(x-3) obtenho a identidade de polinômios
-6x+3 = A(x-3)+Bx = (A+B)x -3A.
Agora igualo coeficientes em x e termos constantes:
\begin{cases} A+B = -6,\\[4pt] -3A = 3. \end{cases}
Da segunda equação vem (A=-1]. Substituindo na primeira,
-1 + B = -6 \implies B = -5.
Logo
\frac{-6x+3}{x(x-3)} = -\frac{1}{x} - \frac{5}{x-3}.]

Passo 5

Reescrevo a função integranda totalmente decomposta, juntando a parte polinomial:
\frac{x^{3}-4x^{2}-3x+3}{x^{2}-3x} = x - 1 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x-3}.
Isto é útil porque cada termo agora é fácil de integrar separadamente.

Passo 6

Integro termo a termo. Lembro as integrais básicas que vou usar:
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, porque a derivada de \frac{x^{2}}{2} é x.
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| (uso valor absoluto porque x pode ser negativo).
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| (mesma ideia, mudança de variável simples).
Aplicando a integração:
\int\left(x-1-\frac{1}{x}-\frac{5}{x-3}\right)dx = \int x\,dx - \int 1\,dx - \int \frac{1}{x}\,dx -5\int \frac{1}{x-3}\,dx.
Calculando cada termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx = x,
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|,\qquad \int \frac{1}{x-3}\,dx = \ln|x-3|.
Multiplicando o último por -5 e somando os termos:
\text{primitiva geral }F(x)=\frac{x^{2}}{2}-x-\ln|x|-5\ln|x-3|+C.

Passo 7

O enunciado pede a primitiva considerando a constante \mathrm{c}=0. Portanto escolho C=0 e escrevo a resposta final.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-x-\ln|x|-5\ln|x-3|

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