Questão: Na região da Península Yucatán, no México, rodeado pelas águas do Caribe, está localizado o maior buraco azul do mundo: o Taam-já. Mesmo sem chegar ao ponto mais fundo, cientistas conseguiram medir mais de 420 metros de profundidade, o que equivale à altura de 11 Cristos Redentores um em cima do outro. Um drone conseguiu modelar uma função que expressa a área do buraco e é expressa por:
Determine o cálculo da área, considerando a constante
.
Passo 1
O enunciado fornece a integral indefinida
e pede que eu determine o cálculo da área (isto é, encontre uma primitiva), considerando a constante de integração igual a
.
Informações dadas:
O que se pede:
- Calcular uma antiderivada da função dada e fornecer a expressão final com a constante igual a zero.
Passo 2
Primeiro passo prático: observar que o numerador tem grau
e o denominador tem grau
. Nesses casos convém fazer divisão de polinômios para separar uma parte polinomial mais um quociente próprio (fração com numerador de grau menor que o denominador). Faço a divisão de
por
Realizando a divisão:
- Termo principal:
. Multiplico por e subtraio:
- Desço o próximo termo
, ficando . - Próximo quociente:
. Multiplico por e subtraio:
- Desço o termo
, ficando o resto .
Portanto a divisão fornece:
Passo 3
Escrevo a fração restante de forma que o denominador fique fatorado para facilitar decomposição em frações parciais:
Então a parte fracionária é
Passo 4
Faço a decomposição em frações parciais. Procuro constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtenho a identidade de polinômios
Agora igualo coeficientes em
e termos constantes:
Da segunda equação vem (A=-1]. Substituindo na primeira,
Logo
Passo 5
Reescrevo a função integranda totalmente decomposta, juntando a parte polinomial:
Isto é útil porque cada termo agora é fácil de integrar separadamente.
Passo 6
Integro termo a termo. Lembro as integrais básicas que vou usar:
-
, porque a derivada de é . -
. -
(uso valor absoluto porque pode ser negativo). -
(mesma ideia, mudança de variável simples).
Aplicando a integração:
Calculando cada termo:
Multiplicando o último por
e somando os termos:
Passo 7
O enunciado pede a primitiva considerando a constante
. Portanto escolho
e escrevo a resposta final.