\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão: Calcule a integral \int \frac{18 \operatorname{cotg}^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x}{\left(2+\operatorname{cotg}^{3} x\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{18\,\operatorname{cotg}^{2} x\,\operatorname{cosec}^{2} x}{\left(2+\operatorname{cotg}^{3} x\right)^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável de integração é x.
  • No numerador aparecem os fatores \operatorname{cotg}^{2} x e \operatorname{cosec}^{2} x.
  • No denominador aparece \left(2+\operatorname{cotg}^{3} x\right)^{2}.
  • O integrando sugere que uma combinação envolvendo \operatorname{cotg}^{3} x e sua derivada pode simplificar a expressão (observe o formato «função’ / função^2»).

Passo 2

Vamos lembrar dois fatos importantes que usaremos (explico devagar, sem pressa):
  • Derivada da função \operatorname{cotg} x: \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{cotg} x\big) = -\operatorname{cosec}^{2} x. Isso vem da derivada conhecida de \cot x; aqui usamos a notação \operatorname{cotg} e \operatorname{cosec} equivalentes.
  • Regra da cadeia (chain rule): se temos v(x)=g(h(x)), então v'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Usaremos isso ao diferenciar \operatorname{cotg}^{3} x.

Passo 3

Escolhemos a substituição (é a escolha natural aqui):
u = 2 + \operatorname{cotg}^{3} x.
Agora calculamos du usando a regra da cadeia. Primeiro derivamos \operatorname{cotg}^{3} x:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{cotg}^{3} x\big) = 3\,\operatorname{cotg}^{2} x \cdot \frac{d}{dx}\big(\operatorname{cotg} x\big).
Como \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{cotg} x\big) = -\operatorname{cosec}^{2} x, obtemos
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{cotg}^{3} x\big) = 3\,\operatorname{cotg}^{2} x \cdot (-\operatorname{cosec}^{2} x) = -3\,\operatorname{cotg}^{2} x\,\operatorname{cosec}^{2} x.
Portanto
du = -3\,\operatorname{cotg}^{2} x\,\operatorname{cosec}^{2} x\,dx.

Passo 4

A expressão \operatorname{cotg}^{2} x\,\operatorname{cosec}^{2} x\,dx aparece no integrando; isolamos-a em termos de du:
\operatorname{cotg}^{2} x\,\operatorname{cosec}^{2} x\,dx = -\frac{1}{3}\,du.
Substituímos na integral original. O numerador tem o fator 18, então
18\,\operatorname{cotg}^{2} x\,\operatorname{cosec}^{2} x\,dx = 18\left(-\frac{1}{3}\,du\right) = -6\,du.
Assim a integral em x transforma-se em uma integral em u:
\int \frac{18\,\operatorname{cotg}^{2} x\,\operatorname{cosec}^{2} x}{\left(2+\operatorname{cotg}^{3} x\right)^{2}}\,dx = \int \frac{-6}{u^{2}}\,du.

Passo 5

Agora integramos em u. Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Multiplicando pelo constante -6 temos
\int \frac{-6}{u^{2}}\,du = -6 \int u^{-2}\,du = -6\cdot(-u^{-1}) + C = 6\,u^{-1} + C.
Portanto, em termos de u, uma primitiva é 6\,u^{-1}+C.

Passo 6

Revertendo a substituição u = 2 + \operatorname{cotg}^{3} x, a primitiva em termos de x é
6\big(2+\operatorname{cotg}^{3} x\big)^{-1} + C.
Se quiser conferir rapidamente, você pode derivar essa expressão usando a regra da cadeia e verá que volta ao integrando original (fizemos exatamente a substituição inversa que justificou isso).

Resposta

\displaystyle \frac{6}{2+\operatorname{cotg}^{3} x}+C

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