Questão: Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável de integração é
. - No numerador aparecem os fatores
e . - No denominador aparece
. - O integrando sugere que uma combinação envolvendo
e sua derivada pode simplificar a expressão (observe o formato «função’ / função^2»).
Passo 2
Vamos lembrar dois fatos importantes que usaremos (explico devagar, sem pressa):
- Derivada da função
: . Isso vem da derivada conhecida de ; aqui usamos a notação e equivalentes. - Regra da cadeia (chain rule): se temos
, então . Usaremos isso ao diferenciar .
Passo 3
Escolhemos a substituição (é a escolha natural aqui):
Agora calculamos
usando a regra da cadeia. Primeiro derivamos
:
Como
, obtemos
Portanto
Passo 4
A expressão
aparece no integrando; isolamos-a em termos de
:
Substituímos na integral original. O numerador tem o fator
, então
Assim a integral em
transforma-se em uma integral em
:
Passo 5
Agora integramos em
. Usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo constante
temos
Portanto, em termos de
, uma primitiva é
.
Passo 6
Revertendo a substituição
, a primitiva em termos de
é
Se quiser conferir rapidamente, você pode derivar essa expressão usando a regra da cadeia e verá que volta ao integrando original (fizemos exatamente a substituição inversa que justificou isso).